Duas Partículas de massas m_{1}=0,2 \mathrm{~kg} e m_{2}=0,4 \mathrm{~kg} estão nos pontos 1 e 2 localizádos nos pontos (-1,-1) e (2,2) respectivamente. A posição do centro de massa do sistema é no ponto: Escolha uma opção:
\bigcirc a. (1,1).
\bigcirc b. (2,-1).
\bigcirc c. (\mathbf{0}, \mathbf{0}).
\bigcirc d. (-1,2).
\bigcirc e. Nenhuma das outras alternativas.
\bigcirc f. (1,2).
\bigcirc g. (2,1).
\bigcirc h. (2,2).

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • m_{1}=0{,}2\\ \mathrm{kg} está na posição 1 que é o ponto (-1,-1).
    • m_{2}=0{,}4\\ \mathrm{kg} está na posição 2 que é o ponto (2,2).
  • Pergunta:
    • Qual é a posição do centro de massa do sistema (ou seja, as coordenadas do centro de massa)?

Passo 2

O que é o centro de massa e qual fórmula usar (explicação didática).
  • Intuição: o centro de massa é como o “ponto de equilíbrio” do sistema; cada massa puxa o centro de massa na sua direção com força proporcional à sua massa. Então a coordenada do centro de massa é uma média ponderada das posições, onde os pesos são as massas.
  • Fórmula para um sistema de partículas em duas dimensões: se temos massas m_i nas posições (x_i,y_i), a coordenada x do centro de massa é
x_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},
e a coordenada y é
y_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}.
  • Aqui temos só duas partículas, então as somas têm dois termos: i=1,2.

Passo 3

Calcular a massa total do sistema (denominador das fórmulas).
  • Soma das massas:
M = m_1 + m_2 = 0{,}2 + 0{,}4.
  • Faça a conta: 0{,}2+0{,}4=0{,}6.
  • Logo,
M = 0{,}6\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular o numerador para x_{\text{CM}}, ou seja \sum m_i x_i.
  • Valores: x_1=-1, x_2=2.
  • Produto massa × coordenada para cada partícula:
    • m_1 x_1 = 0{,}2 \times (-1) = -0{,}2.
    • m_2 x_2 = 0{,}4 \times 2 = 0{,}8.
  • Soma:
\sum_i m_i x_i = -0{,}2 + 0{,}8 = 0{,}6.

Passo 5

Dividir para obter x_{\text{CM}}.
  • Aplicando a fórmula:
x_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{M}=\frac{0{,}6}{0{,}6}.
  • Resultado:
x_{\text{CM}}=1.

Passo 6

Calcular o numerador para y_{\text{CM}}, ou seja \sum m_i y_i.
  • Valores: y_1=-1, y_2=2.
  • Produto massa × coordenada para cada partícula:
    • m_1 y_1 = 0{,}2 \times (-1) = -0{,}2.
    • m_2 y_2 = 0{,}4 \times 2 = 0{,}8.
  • Soma:
\sum_i m_i y_i = -0{,}2 + 0{,}8 = 0{,}6.

Passo 7

Dividir para obter y_{\text{CM}}.
  • Aplicando a fórmula:
y_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i y_i}{M}=\frac{0{,}6}{0{,}6}.
  • Resultado:
y_{\text{CM}}=1.

Passo 8

Conclusão e checagem rápida de coerência (intuição).
  • Achei (x_{\text{CM}},y_{\text{CM}})=(1,1).
  • Intuição: a segunda massa m_2 é o dobro de m_1 e está no (2,2), portanto o centro de massa fica mais próximo de (2,2) do que de (-1,-1) — especificamente, fica em (1,1), que faz sentido como média ponderada.

Resposta

a. (1,1)

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