Uma roda começa a girar com uma aceleração angular constante de 3 rad / s^2. Após exatamente 1,0 segundo do início do movimento, o vetor da aceleração total de um ponto na borda da roda tem um módulo igual a 12 raiz10 cm / s^2.
Sabendo que o vetor da aceleração total combina uma componente tangencial, causada pela variação da velocidade angular, e uma componente radial, associada à trajetória circular do ponto:
(b) Justifique, com base nas grandezas rotacionais, como os diferentes tipos de aceleração contribuem para o valor fornecido da aceleração total.
Dica: Use expressões vetoriais para relacionar os módulos das acelerações tangencial e radial, e considere o movimento de rotação uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma roda que começa a girar com uma aceleração angular constante de 3, rad/s^2. Depois de 1 segundo, a aceleração total de um ponto na borda dessa roda é 12 raiz10, cm/s^2. A questão (b) pede para justificar como as diferentes acelerações (tangencial e radial) contribuem para esse valor total, usando conceitos de grandezas rotacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimentos circulares, temos duas componentes de aceleração:
  1. Aceleração Tangencial ( atan>=ncial): Está relacionada à variação da velocidade angular, ou seja, como a velocidade de rotação está aumentando ou diminuindo. Ela é calculada por:
atan>=ncial = alpha cdot r
onde alpha é a aceleração angular e r é o raio da roda.
  1. Aceleração Radial ( aradial): Também chamada de aceleração centrípeta, está associada à mudança na direção da velocidade, mantendo o movimento circular. Ela é calculada por:
aradial = omega^2 cdot r
onde omega é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que a aceleração total ( atotal) é a combinação vetorial das componentes tangencial e radial. Como essas acelerações são perpendiculares entre si, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo da aceleração total:
atotal = raizatan>=ncial^2 + aradial^2

Passo 4

Vamos calcular cada componente. Primeiro, a aceleração tangencial:
atan>=ncial = alpha cdot r = 3, rad/s^2 cdot r
Agora, a aceleração radial. Para isso, precisamos encontrar a velocidade angular após 1 segundo. Sabemos que:
omega = alpha cdot t = 3, rad/s^2 cdot 1, s = 3, rad/s
Então,
aradial = omega^2 cdot r = (3, rad/s)^2 cdot r = 9, rad^2/s^2 cdot r

Passo 5

Agora, substituímos as expressões de atan>=ncial e aradial na fórmula da aceleração total:
atotal = raiz(3r)^2 + (9r)^2 = raiz9r^2 + 81r^2 = raiz90r^2 = r cdot raiz90 = r cdot 3raiz10

Passo 6

Sabemos que o módulo da aceleração total é 12 raiz10, cm/s^2. Assim, temos:
r cdot 3raiz10 = 12raiz10
Resolvendo para r:
r = 12raiz103raiz10 = 4, cm

Resposta

A aceleração tangencial contribui com 12, cm/s^2 e a aceleração radial contribui com 36, cm/s^2, resultando em uma aceleração total de 12 raiz10, cm/s^2.

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