1. Duas partículas movem-se em linha reta. A partícula A (massa 2 kg ) tem velocidade inicial de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A partícula B (massa 6 kg ) tem velocidade inicial de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ambas no mesmo sentido.
    a) Determine o momento linear total.
    b) Se uma força resultante de 10 N atua apenas sobre A por 3 s , qual será o novo momento linear total do sistema?

Passo 1

Enunciado e dados (o que foi dado e o que se pede):
  • Partícula A: massa \,m_A=2\\ \mathrm{kg}\, e velocidade inicial \,v_{A0}=4\\ \mathrm{m/s}\, (no sentido positivo).
  • Partícula B: massa \,m_B=6\\ \mathrm{kg}\, e velocidade inicial \,v_{B0}=1\\ \mathrm{m/s}\, (no mesmo sentido de A).
  • Existe uma força resultante aplicada apenas sobre A de magnitude \,F=10\\ \mathrm{N}\, durante um intervalo de tempo \,\Delta t=3\\ \mathrm{s}\,.
O enunciado pede:
(a) determinar o momento linear total inicial do sistema (A + B);
(b) determinar o novo momento linear total do sistema após a ação de \,F sobre A por \,\Delta t.

Passo 2

Conceito e fórmula do momento linear (aula rápida e amigável):
  • Momento linear (também chamado quantidade de movimento) de uma partícula é o produto da massa pela velocidade.
  • Fórmula: p = m v,
onde \,p\, é o momento linear (unidade \mathrm{kg\cdot m/s}), \,m\, é a massa (em \mathrm{kg}) e \,v\, é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • Para um sistema de partículas, o momento linear total é a soma dos momentos lineares de cada partícula:
p_{\text{total}}=\sum_i m_i v_i.
Vou aplicar isso aos dados iniciais.

Passo 3

Cálculo dos momentos lineares iniciais de A e B (passo a passo, sem pular etapas):
  • Momento de A inicialmente:
p_{A0}=m_A v_{A0}=2\cdot 4.
Calcule: p_{A0}=8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento de B inicialmente:
p_{B0}=m_B v_{B0}=6\cdot 1.
Calcule: p_{B0}=6\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento linear total inicial (soma das duas contribuições):
p_{\text{total,0}}=p_{A0}+p_{B0}=8+6.
Calcule: p_{\text{total,0}}=14\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Conceito de impulso e relação com variação do momento (aquela fórmula que salva tempo na prova):
  • A segunda lei de Newton na forma de quantidade de movimento diz que a força resultante é a taxa de variação do momento:
F_{\text{res}}=\frac{dp}{dt}.
  • Integrando no tempo, obtemos o teorema do impulso:
\Delta p=\int_{t_0}^{t_0+\Delta t} F_{\text{res}}\,dt = J,
onde \,\Delta p\, é a variação do momento e \,J\, é o impulso (unidade \mathrm{N\cdot s} que é numericamente igual a \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • Se a força resultante sobre o sistema for não nula (como aqui: \,F=10\\ \mathrm{N} atua sobre A; considerando o sistema A+B, essa é uma força externa), o momento total do sistema muda exatamente pelo impulso: \,p_{\text{total,final}}=p_{\text{total,0}}+J.

Passo 5

Calcular o impulso aplicado durante \,\Delta t=3\\ \mathrm{s}\,:
  • Se a força for aproximadamente constante (dado do enunciado), o impulso é
J=F\Delta t.
  • Substituindo valores:
J=10\cdot 3.
Calcule: J=30\\ \mathrm{N\cdot s}=30\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Aplicar o impulso ao momento total (conta final, bem direto):
  • Momento total final = momento total inicial + impulso:
p_{\text{total,final}}=p_{\text{total,0}}+J=14+30.
Calcule: p_{\text{total,final}}=44\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 7

Interpretação final curta e útil (para a prova):
  • O momento total inicial do sistema é \,14\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Como há uma força externa atuando sobre A, o momento do sistema não se conserva; ele aumenta pelo impulso \,30\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • O momento total final do sistema é \,44\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
    (O cálculo da velocidade final de A pode ser feito se quiser: p_{A\text{,final}}=p_{A0}+J=8+30=38\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, então v_{A\text{,final}}=38/2=19\\ \mathrm{m/s}; B permanece com v_B=1\\ \mathrm{m/s}.)

Resposta

(a) 14\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(b) 44\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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