- Duas partículas de massas 4 kg e 1 kg movem-se com velocidades
e
, respectivamente, em linha reta.
a) Determine a velocidade do centro de massa.
b) Calcule o momento linear das partículas no referencial do centro de massa.
a) Determine a velocidade do centro de massa.
b) Calcule o momento linear das partículas no referencial do centro de massa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Massa da partícula 1:
. - Velocidade da partícula 1 (num referencial inercial qualquer, chamado referencial-laboratório):
. - Massa da partícula 2:
. - Velocidade da partícula 2 (no mesmo referencial-laboratório):
.
O enunciado pede:
- (a) Determinar a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas partículas.
- (b) Calcular o momento linear (impulso linear) de cada partícula no referencial do centro de massa.
Observação: todos os valores e unidades acima vieram do enunciado e serão usados diretamente.
Passo 2
Explicação teórica e fórmula para velocidade do centro de massa — aprenda como usar na prova.
Conceitos e notação:
- O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é
, onde é a massa da partícula e sua velocidade no referencial escolhido. A unidade é . - Para um sistema de partículas a velocidade do centro de massa
é definida como a razão entre o momento linear total do sistema e a massa total do sistema:
Aqui
é a soma dos momentos lineares de cada partícula no referencial de cálculo (aqui o referencial-laboratório) e
é a soma das massas.
Por que essa fórmula? Intuitivamente, o centro de massa se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele com a velocidade
e com o mesmo momento linear total. Na prova basta lembrar e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Cálculo numérico da velocidade do centro de massa aplicando a fórmula.
Calcule o momento linear total no referencial-laboratório:
Substituindo os números (peguei estes números do enunciado):
A massa total é
Agora a velocidade do centro de massa:
Interpretação rápida: o centro de massa do conjunto se move para a direita com
. Anote esse valor — será usado para passar ao referencial do centro de massa.
Passo 4
Como obter os momentos lineares no referencial do centro de massa — teoria prática para a prova.
Para passar do referencial-laboratório ao referencial do centro de massa basta subtrair a velocidade do centro de massa das velocidades das partículas. Em fórmulas:
onde
é a velocidade da partícula
vista no referencial cujo origem se move com
.
O momento linear de cada partícula no referencial do centro de massa é então
Essa fórmula é direta e fácil de aplicar na prova: primeiro calcule
, depois subtraia para cada velocidade e multiplique pela massa.
Passo 5
Cálculo numérico dos momentos lineares das partículas no referencial do centro de massa.
Primeiro as velocidades relativas ao centro de massa (usei
do Passo 3):
Agora os momentos lineares no referencial do centro de massa:
Verificação rápida (que costuma cair em prova): a soma dos momentos lineares no referencial do centro de massa deve ser zero:
o que confirma que o centro de massa é o referencial no qual o momento linear total do sistema é nulo.