1. Duas partículas de massas 4 kg e 1 kg movem-se com velocidades 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, respectivamente, em linha reta.
    a) Determine a velocidade do centro de massa.
    b) Calcule o momento linear das partículas no referencial do centro de massa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Massa da partícula 1: m_1=4\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da partícula 1 (num referencial inercial qualquer, chamado referencial-laboratório): v_1=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa da partícula 2: m_2=1\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da partícula 2 (no mesmo referencial-laboratório): v_2=10\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
  • (a) Determinar a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas partículas.
  • (b) Calcular o momento linear (impulso linear) de cada partícula no referencial do centro de massa.
Observação: todos os valores e unidades acima vieram do enunciado e serão usados diretamente.

Passo 2

Explicação teórica e fórmula para velocidade do centro de massa — aprenda como usar na prova.
Conceitos e notação:
  • O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é \,p = m v\,, onde m é a massa da partícula e v sua velocidade no referencial escolhido. A unidade é \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Para um sistema de partículas a velocidade do centro de massa \,v_{\text{cm}}\, é definida como a razão entre o momento linear total do sistema e a massa total do sistema:
v_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i v_i}{\sum_i m_i}.
Aqui \sum_i m_i v_i é a soma dos momentos lineares de cada partícula no referencial de cálculo (aqui o referencial-laboratório) e \sum_i m_i é a soma das massas.
Por que essa fórmula? Intuitivamente, o centro de massa se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele com a velocidade \,v_{\text{cm}}\, e com o mesmo momento linear total. Na prova basta lembrar e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Cálculo numérico da velocidade do centro de massa aplicando a fórmula.
Calcule o momento linear total no referencial-laboratório:
\sum_i m_i v_i = m_1 v_1 + m_2 v_2.
Substituindo os números (peguei estes números do enunciado):
\sum_i m_i v_i = 4\cdot 3 + 1\cdot 10 = 12 + 10 = 22\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
A massa total é
\sum_i m_i = m_1 + m_2 = 4 + 1 = 5\\ \mathrm{kg}.
Agora a velocidade do centro de massa:
v_{\text{cm}}=\frac{22}{5}=\;4,4\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: o centro de massa do conjunto se move para a direita com 4,4\\ \mathrm{m/s}. Anote esse valor — será usado para passar ao referencial do centro de massa.

Passo 4

Como obter os momentos lineares no referencial do centro de massa — teoria prática para a prova.
Para passar do referencial-laboratório ao referencial do centro de massa basta subtrair a velocidade do centro de massa das velocidades das partículas. Em fórmulas:
v_i^{(\text{cm})}=v_i-v_{\text{cm}},
onde v_i^{(\text{cm})} é a velocidade da partícula i vista no referencial cujo origem se move com v_{\text{cm}}.
O momento linear de cada partícula no referencial do centro de massa é então
p_i^{(\text{cm})}=m_i\,v_i^{(\text{cm})}=m_i\,(v_i-v_{\text{cm}}).
Essa fórmula é direta e fácil de aplicar na prova: primeiro calcule v_{\text{cm}}, depois subtraia para cada velocidade e multiplique pela massa.

Passo 5

Cálculo numérico dos momentos lineares das partículas no referencial do centro de massa.
Primeiro as velocidades relativas ao centro de massa (usei v_{\text{cm}}=4,4\\ \mathrm{m/s} do Passo 3):
v_1^{(\text{cm})}=v_1-v_{\text{cm}}=3-4,4=-1,4\\ \mathrm{m/s},
v_2^{(\text{cm})}=v_2-v_{\text{cm}}=10-4,4=5,6\\ \mathrm{m/s}.
Agora os momentos lineares no referencial do centro de massa:
p_1^{(\text{cm})}=m_1\,v_1^{(\text{cm})}=4\cdot(-1,4)=-5,6\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_2^{(\text{cm})}=m_2\,v_2^{(\text{cm})}=1\cdot 5,6=5,6\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Verificação rápida (que costuma cair em prova): a soma dos momentos lineares no referencial do centro de massa deve ser zero:
p_1^{(\text{cm})}+p_2^{(\text{cm})}=-5,6+5,6=0,
o que confirma que o centro de massa é o referencial no qual o momento linear total do sistema é nulo.

Resposta

v_{\text{cm}}=4,4\\ \mathrm{m/s}
p_1^{(\text{cm})}=-5,6\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
p_2^{(\text{cm})}=5,6\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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