1. Uma barra uniforme de comprimento \mathrm{L}=2,0 \mathrm{~m} e massa total \mathrm{M}=6 \mathrm{~kg} tem uma placa pequena de massa 2 kg acoplada em sua extremidade direita. Determine a posição do centro de massa da barra com a placa anexada (com origem na extremidade esquerda da barra).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Comprimento da barra: L=2,0\\ \mathrm{m}.
  • Massa total da barra (uniforme): M=6\\ \mathrm{kg}.
  • Placa pequena acoplada na extremidade direita com massa m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Origem das posições colocada na extremidade esquerda da barra (ou seja, x=0 na ponta esquerda).
    O que se pede:
  • Determinar a posição do centro de massa do sistema “barra + placa” medida a partir da extremidade esquerda (ou seja achar x_{\mathrm{cm}}).

Passo 2

Conceito e cálculo do centro de massa da barra uniforme (aula rápida).
  • Definição para um corpo contínuo unidimensional: a posição do centro de massa é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\int x\,dm,
onde dm é um elemento de massa localizado em x e M é a massa total do corpo.
  • Para uma barra uniforme de comprimento L a densidade linear é \lambda=\dfrac{M}{L} e dm=\lambda\,dx.
  • Substituindo na integral e integrando de 0 a L:
x_{\mathrm{rod}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,dm=\frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\lambda\,dx =\frac{\lambda}{M}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}.
  • Como \lambda=\dfrac{M}{L} temos
x_{\mathrm{rod}}=\frac{M/L}{M}\cdot\frac{L^{2}}{2}=\frac{L}{2}.
  • Portanto, a posição do centro de massa da barra (sozinha) medida da extremidade esquerda é
x_{\mathrm{rod}}=\frac{L}{2}=\frac{2{,}0}{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Centro de massa do sistema formado por partes discretas (fórmula usada).
  • Para um conjunto de massas puntiformes m_{i} localizadas em x_{i},
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}.
  • Aqui podemos tratar a barra como uma massa M concentrada em x_{\mathrm{rod}}=\dfrac{L}{2} (já calculado) e a placa como uma massa m em x_{\mathrm{plate}}=L.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados numéricos.
  • Numerador (momento total):
M\,x_{\mathrm{rod}}+m\,x_{\mathrm{plate}}=6\cdot 1{,}0 + 2\cdot 2{,}0 =6+4=10\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Massa total:
M_{\mathrm{tot}}=M+m=6+2=8\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo final e verificação rápida de plausibilidade.
  • Posição do centro de massa:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Verificação de senso: o centro de massa da barra isolada era 1{,}0\\ \mathrm{m}; como foi adicionada massa na extremidade direita, o centro de massa deslocou-se para a direita até 1{,}25\\ \mathrm{m}, o que é coerente.

Resposta

1{,}25\\ \mathrm{m}

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