- Uma barra uniforme de comprimento
e massa total
tem uma placa pequena de massa 2 kg acoplada em sua extremidade direita. Determine a posição do centro de massa da barra com a placa anexada (com origem na extremidade esquerda da barra).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Comprimento da barra:
. - Massa total da barra (uniforme):
. - Placa pequena acoplada na extremidade direita com massa
. - Origem das posições colocada na extremidade esquerda da barra (ou seja,
na ponta esquerda).
O que se pede: - Determinar a posição do centro de massa do sistema “barra + placa” medida a partir da extremidade esquerda (ou seja achar
).
Passo 2
Conceito e cálculo do centro de massa da barra uniforme (aula rápida).
- Definição para um corpo contínuo unidimensional: a posição do centro de massa é
onde
é um elemento de massa localizado em
e
é a massa total do corpo.
- Para uma barra uniforme de comprimento
a densidade linear é e . - Substituindo na integral e integrando de
a :
- Como
temos
- Portanto, a posição do centro de massa da barra (sozinha) medida da extremidade esquerda é
Passo 3
Centro de massa do sistema formado por partes discretas (fórmula usada).
- Para um conjunto de massas puntiformes
localizadas em ,
- Aqui podemos tratar a barra como uma massa
concentrada em (já calculado) e a placa como uma massa em .
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dados numéricos.
- Numerador (momento total):
- Massa total:
Passo 5
Cálculo final e verificação rápida de plausibilidade.
- Posição do centro de massa:
- Verificação de senso: o centro de massa da barra isolada era
; como foi adicionada massa na extremidade direita, o centro de massa deslocou-se para a direita até , o que é coerente.