1. Considere uma placa fina formada pela união de um quadrado de lado a com um semicírculo de raio a/2 acoplado a um de seus lados. A densidade é uniforme. Determine a posição do centro de massa da figura.

Passo 1

O enunciado dá uma placa fina formada pela união de duas partes rígidas e de densidade uniforme:
  • Um quadrado de lado a.
  • Um semicírculo de raio R=\dfrac{a}{2} acoplado a um dos lados do quadrado (a semicircunferência tem diâmetro igual ao lado do quadrado).
O que se pede:
  • Determinar a posição do centro de massa (centroide) da figura composta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Densidade superficial é uniforme (portanto o centro de massa é o centroide geométrico, calculado por média ponderada das áreas).
  • Área do quadrado: A_{\text{q}} = a^{2}.
  • Área do semicírculo: A_{\text{s}} = \dfrac{1}{2}\pi R^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{8}.
Escolho um sistema de coordenadas conveniente (isso só fixa referências, sem resolver ainda):
  • Eixo y vertical, eixo x horizontal.
  • Coloco o quadrado com suas arestas paralelas aos eixos, ocupando x\in\bigl[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\bigr] e y\in[0,a].
  • O semicírculo está apoiado sobre o lado superior do quadrado (diâmetro no segmento y=a, com a parte curva para y>a).
  • Assim a figura é simétrica em relação ao eixo x=0, então o centro de massa terá coordenada x=0. Resta achar a coordenada y.

Passo 2

Relembrando e calculando as áreas (detalhando para que fique claro e didático):
  • Área do quadrado:
A_{\text{q}} = a^{2}.
  • Área do semicírculo com raio R=\dfrac{a}{2}:
A_{\text{s}} = \tfrac{1}{2}\pi R^{2} = \tfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{8}.
  • Área total:
A_{\text{tot}} = A_{\text{q}} + A_{\text{s}} = a^{2} + \dfrac{\pi a^{2}}{8} = a^{2}\!\left(1+\dfrac{\pi}{8}\right).
Explicação rápida: como a densidade é uniforme, usamos áreas (não massas separadas) e a fórmula do centroide de compósito é a média ponderada pelas áreas.

Passo 3

Localizar os centros de área (centroides) das peças isoladas na escolha de coordenadas feita:
  • Centroide do quadrado:
    O quadrado, ocupando y\in[0,a], tem centro no seu centro geométrico. Assim a ordenada do centroide do quadrado é
    y_{\text{q}}=\dfrac{a}{2}.
  • Centroide do semicírculo (posição medida a partir da reta do diâmetro):
    Vou derivar o valor padrão e explicar por que ele é \dfrac{4R}{3\pi} medido a partir do diâmetro (é uma fórmula clássica, mas aqui faço a integração para você entender).
    Coloque o eixo y com origem no centro do círculo completo e o semicírculo corresponde à região y\in[0,R]. A área de uma tira horizontal entre y e y+dy tem largura 2\sqrt{R^{2}-y^{2}} e área dA=2\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,dy. O centroide vertical do semicírculo, medido a partir da reta do diâmetro (que está em y=0 nesta posição), é
    \bar{y}_{\text{s,rel}}=\dfrac{1}{A_{\text{s}}}\int_{0}^{R} y\;dA =\dfrac{1}{A_{\text{s}}}\int_{0}^{R} y\cdot 2\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,dy.
    Calcule a integral:
    faça u=R^{2}-y^{2}\Rightarrow du=-2y\,dy. Então
    \int_{0}^{R} 2y\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,dy =\int_{R^{2}}^{0} -\sqrt{u}\,du =\int_{0}^{R^{2}}\sqrt{u}\,du =\left.\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{R^{2}} =\dfrac{2}{3}R^{3}.
    Como A_{\text{s}}=\tfrac{1}{2}\pi R^{2}, tem-se
    \bar{y}_{\text{s,rel}}=\dfrac{\tfrac{2}{3}R^{3}}{\tfrac{1}{2}\pi R^{2}} =\dfrac{4R}{3\pi}.
    Portanto, medindo a partir da reta do diâmetro (que, na nossa posição, está em y=a), a ordenada do centroide do semicírculo é
    y_{\text{s}} = a + \bar{y}_{\text{s,rel}} = a + \dfrac{4R}{3\pi}.
    Substituindo R=\dfrac{a}{2}:
    y_{\text{s}} = a + \dfrac{4}{3\pi}\cdot\dfrac{a}{2} = a + \dfrac{2a}{3\pi} = a\!\left(1+\dfrac{2}{3\pi}\right).
Comentário didático: decorre bem guardar na cabeça que o centroide do semicírculo fica a \dfrac{4R}{3\pi} do diâmetro em direção ao arco; é um resultado que aparece frequentemente e vale a pena decorar.

Passo 4

Calcular a coordenada y do centro de massa da figura composta usando média ponderada pelas áreas:
Fórmula geral (para uma composição de duas partes com centros em y_{1},y_{2} e áreas A_{1},A_{2}):
\bar{y}=\dfrac{A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}}{A_{1}+A_{2}}.
Aqui A_{1}=A_{\text{q}}=a^{2}, y_{1}=y_{\text{q}}=\dfrac{a}{2}; A_{2}=A_{\text{s}}=\dfrac{\pi a^{2}}{8}, y_{2}=y_{\text{s}}=a\!\left(1+\dfrac{2}{3\pi}\right). Substituindo:
\bar{y} = \dfrac{a^{2}\cdot\left(\dfrac{a}{2}\right) + \dfrac{\pi a^{2}}{8}\cdot a\!\left(1+\dfrac{2}{3\pi}\right)} {a^{2} + \dfrac{\pi a^{2}}{8}}.
Fatorando a^{3} no numerador e a^{2} no denominador e simplificando:
\bar{y} = a\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\left(1+\dfrac{2}{3\pi}\right)} {1+\dfrac{\pi}{8}}.

Passo 5

Fazer a álgebra para obter uma forma simples (mostrando cada passo):
Calcule o termo no numerador interior:
\dfrac{\pi}{8}\left(1+\dfrac{2}{3\pi}\right) = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi}{8}\cdot\dfrac{2}{3\pi} = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{12}.
Agora some com \dfrac{1}{2}:
\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{12}{24} + \dfrac{3\pi}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{14 + 3\pi}{24}.
O denominador 1+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{8+\pi}{8}. Assim
\bar{y} = a\cdot \dfrac{\dfrac{14+3\pi}{24}}{\dfrac{8+\pi}{8}} = a\cdot \dfrac{14+3\pi}{24}\cdot \dfrac{8}{8+\pi} = a\cdot \dfrac{14+3\pi}{3(8+\pi)}.
Multiplicando o 3 no denominador:
\bar{y} = a\cdot \dfrac{14+3\pi}{24+3\pi}.
E como a figura é simétrica em x, tem-se \bar{x}=0.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova:
  • Resultado em forma fechada:
\bar{x}=0,\qquad \bar{y}=a\cdot\dfrac{14+3\pi}{24+3\pi}.
  • Para conferir numericamente (apenas intuicional): \dfrac{14+3\pi}{24+3\pi}\approx 0{,}7009, então \bar{y}\approx 0{,}701\,a, que está entre o centro do quadrado 0{,}5a e o centro do semicírculo \approx 1{,}212a, como esperado.
Dica para prova: sempre escolha um referencial que aproveite simetrias (aqui o eixo vertical passando pelo meio do lado facilita porque \bar{x}=0), calcule áreas e centroides padrão (quadrado, círculo, semicírculo) e depois aplique a média ponderada pelas áreas.

Resposta

\displaystyle \bar{x}=0,\qquad \displaystyle \bar{y}=a\cdot\dfrac{14+3\pi}{24+3\pi}

Exercícios relacionados