Considere uma placa fina formada pela união de um quadrado de lado a com um semicírculo de raio a/2 acoplado a um de seus lados. A densidade é uniforme. Determine a posição do centro de massa da figura.
Passo 1
O enunciado dá uma placa fina formada pela união de duas partes rígidas e de densidade uniforme:
Um quadrado de lado a.
Um semicírculo de raio R=\dfrac{a}{2} acoplado a um dos lados do quadrado (a semicircunferência tem diâmetro igual ao lado do quadrado).
O que se pede:
Determinar a posição do centro de massa (centroide) da figura composta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Densidade superficial é uniforme (portanto o centro de massa é o centroide geométrico, calculado por média ponderada das áreas).
Área do quadrado: A_{\text{q}} = a^{2}.
Área do semicírculo: A_{\text{s}} = \dfrac{1}{2}\pi R^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{8}.
Escolho um sistema de coordenadas conveniente (isso só fixa referências, sem resolver ainda):
Eixo y vertical, eixo x horizontal.
Coloco o quadrado com suas arestas paralelas aos eixos, ocupando x\in\bigl[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\bigr] e y\in[0,a].
O semicírculo está apoiado sobre o lado superior do quadrado (diâmetro no segmento y=a, com a parte curva para y>a).
Assim a figura é simétrica em relação ao eixo x=0, então o centro de massa terá coordenada x=0. Resta achar a coordenada y.
Passo 2
Relembrando e calculando as áreas (detalhando para que fique claro e didático):
Explicação rápida: como a densidade é uniforme, usamos áreas (não massas separadas) e a fórmula do centroide de compósito é a média ponderada pelas áreas.
Passo 3
Localizar os centros de área (centroides) das peças isoladas na escolha de coordenadas feita:
Centroide do quadrado:
O quadrado, ocupando y\in[0,a], tem centro no seu centro geométrico. Assim a ordenada do centroide do quadrado é
y_{\text{q}}=\dfrac{a}{2}.
Centroide do semicírculo (posição medida a partir da reta do diâmetro):
Vou derivar o valor padrão e explicar por que ele é \dfrac{4R}{3\pi} medido a partir do diâmetro (é uma fórmula clássica, mas aqui faço a integração para você entender).
Coloque o eixo y com origem no centro do círculo completo e o semicírculo corresponde à região y\in[0,R]. A área de uma tira horizontal entre y e y+dy tem largura 2\sqrt{R^{2}-y^{2}} e área dA=2\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,dy. O centroide vertical do semicírculo, medido a partir da reta do diâmetro (que está em y=0 nesta posição), é
Portanto, medindo a partir da reta do diâmetro (que, na nossa posição, está em y=a), a ordenada do centroide do semicírculo é
y_{\text{s}} = a + \bar{y}_{\text{s,rel}} = a + \dfrac{4R}{3\pi}.
Substituindo R=\dfrac{a}{2}:
y_{\text{s}} = a + \dfrac{4}{3\pi}\cdot\dfrac{a}{2} = a + \dfrac{2a}{3\pi} = a\!\left(1+\dfrac{2}{3\pi}\right).
Comentário didático: decorre bem guardar na cabeça que o centroide do semicírculo fica a \dfrac{4R}{3\pi} do diâmetro em direção ao arco; é um resultado que aparece frequentemente e vale a pena decorar.
Passo 4
Calcular a coordenada y do centro de massa da figura composta usando média ponderada pelas áreas:
Fórmula geral (para uma composição de duas partes com centros em y_{1},y_{2} e áreas A_{1},A_{2}):
Para conferir numericamente (apenas intuicional): \dfrac{14+3\pi}{24+3\pi}\approx 0{,}7009, então \bar{y}\approx 0{,}701\,a, que está entre o centro do quadrado 0{,}5a e o centro do semicírculo \approx 1{,}212a, como esperado.
Dica para prova: sempre escolha um referencial que aproveite simetrias (aqui o eixo vertical passando pelo meio do lado facilita porque \bar{x}=0), calcule áreas e centroides padrão (quadrado, círculo, semicírculo) e depois aplique a média ponderada pelas áreas.