Duas partículas
e
se movem retilineamente e uniformemente. A primeira partícula inicia seu movimento em
e se move com velocidade
na direção do vetor
, a segunda partícula começa no ponto B :
e se move com velocidade
na direção oposta ao vetor
.
Passo 1
O enunciado trata de duas partículas
e
que se movem em linha reta com velocidades constantes dadas. A partícula
parte de
com rapidez
na direção do vetor
e a partícula
parte de
com rapidez
na direção oposta ao vetor
. O que precisamos:
- Escrever as equações paramétricas
e . - Verificar se elas colidem (se existe
tal que ). - Calcular a distância mínima entre as duas trajetórias (isto é, minimizar
).
Passo 2
Normalizamos o vetor direção e encontramos as velocidades vetoriais. Para
: o vetor direção é
com norma
O versor é
. Multiplicando pela rapidez
obtemos
Para
: o vetor oposto a
é
e sua norma é
O versor é
. Multiplicando por
dá
Passo 3
Escrevemos as posições em função do tempo
(supondo
e mesmo referencial para ambas):
Passo 4
Para ver se colidem, igualamos
, gerando o sistema
Da segunda equação
. Da primeira teríamos
. Como não há mesmo
que satisfaça todas, não há colisão.
Passo 5
Para achar a distância mínima basta minimizar o quadrado da distância
Primeiro formamos o vetor diferença
Então
Derivando e igualando a zero,
Passo 6
O valor mínimo de
é
portanto a distância mínima é
Resposta
Tempo de aproximação mais próxima:
Distância mínima entre as partículas: