Duas partículas P1 e P2 se movem retilineamente e uniformemente. A primeira partícula inicia seu movimento em A:(1,1,2) e se move com velocidade v=14 na direção do vetor (-3,6,-2), a segunda partícula começa no ponto B : (0,1,4) e se move com velocidade v=13 na direção oposta ao vetor (-4,-3,12).

Passo 1

O enunciado trata de duas partículas P1 e P2 que se movem em linha reta com velocidades constantes dadas. A partícula P1 parte de A=(1,1,2) com rapidez 14 na direção do vetor (-3,6,-2) e a partícula P2 parte de B=(0,1,4) com rapidez 13 na direção oposta ao vetor (-4,-3,12). O que precisamos:
  • Escrever as equações paramétricas r1(t) e r2(t).
  • Verificar se elas colidem (se existe t tal que r1(t)=r2(t)).
  • Calcular a distância mínima entre as duas trajetórias (isto é, minimizar |r1(t)-r2(t)|).

Passo 2

Normalizamos o vetor direção e encontramos as velocidades vetoriais. Para P1: o vetor direção é d1=(-3,6,-2) com norma
|d1|=raiz(-3)^2+6^2+(-2)^2=raiz9+36+4=raiz49=7
O versor é d17=(-tfrac37,tfrac67,-tfrac27). Multiplicando pela rapidez 14 obtemos
v1 = 14cdotl(-tfrac37,tfrac67,-tfrac27r)=(-6,12,-4)
Para P2: o vetor oposto a (-4,-3,12) é d2=(4,3,-12) e sua norma é
|d2|=raiz4^2+3^2+(-12)^2=raiz16+9+144=raiz169=13
O versor é d213=(tfrac413,tfrac313,-tfrac1213). Multiplicando por 13
v2 = (4,3,-12)

Passo 3

Escrevemos as posições em função do tempo t (supondo t>=0 e mesmo referencial para ambas):
r1(t)= (1,1,2) + t,( -6,12,-4 ) = l(1-6t,;1+12t,;2-4tr),
r2(t)= (0,1,4) + t,(4,3,-12) = l(4t,;1+3t,;4-12tr)

Passo 4

Para ver se colidem, igualamos r1(t)=r2(t), gerando o sistema
1-6t = 4t, 1+12t=1+3t, 2-4t=4-12t
Da segunda equação 12t=3timplies9t=0implies t=0. Da primeira teríamos 1=10timplies t=0,1. Como não há mesmo t que satisfaça todas, não há colisão.

Passo 5

Para achar a distância mínima basta minimizar o quadrado da distância
f(t)=|r1(t)-r2(t)|^2
Primeiro formamos o vetor diferença
d(t)=r1(t)-r2(t) =l(1-6t-4t,;1+12t-(1+3t),;2-4t-(4-12t)r) =(1-10t,;9t,;-2+8t)
Então
f(t)=(1-10t)^2+(9t)^2+(-2+8t)^2 =245,t^2-52,t+5
Derivando e igualando a zero,
f'(t)=490,t-52=0 Longrightarrow t^* = 52490 = 26245approx0,1061

Passo 6

O valor mínimo de f é
fmin =5-(-52)^24cdot245 =5-2704980 =549245,
portanto a distância mínima é
dmin =raizfmin =raiz549245 =3raiz617raiz5 approx0,4726

Resposta

Tempo de aproximação mais próxima:
t^* = 26245approx0,1061
Distância mínima entre as partículas:
dmin = raiz549245 approx 0,4726

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