Em cada item abaixo, verifique se o sistema associado à equação matricial AX=B é determinado e, em caso afirmativo, encontre sua solução de três formas: usando Regra de Cramer, usando a inversa de A e usando a forma escada de A
A=(lll1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 1 & 2 & 0), X=(lx y z) e B=(l1 4 2)

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear dado pela equação matricial , onde
O que vamos usar:
– Cálculo de determinante para verificar se há solução única (sistema determinado).
– Regra de Cramer para obter .
– Inversa de para calcular .
– Escalonamento da matriz aumentada para resolver por eliminação de Gauss.

Passo 2

Calculamos det(A).
det(A) =1cdotdet3&12&0 -1cdotdet2&11&0 +0cdot(cdots) =1,(3cdot0-1cdot2)-1,(2cdot0-1cdot1) =-2-(-1) =-1
Como det(A)=-1neq0, o sistema é determinado e tem solução única.

Passo 3

Aplicamos a Regra de Cramer: para cada incógnita substituímos a coluna correspondente de A por B e dividimos pelo determinante de A.
Para x,
Ax=1&1&04&3&12&2&0, det(Ax) =1,(3cdot0-1cdot2)-1,(4cdot0-1cdot2) =-2-(-2)=0,
x=det(Ax)det(A)=0-1=0
Para y,
Ay=1&1&02&4&11&2&0, det(Ay) =1,(4cdot0-1cdot2)-1,(2cdot0-1cdot1) =-2-(-1)=-1,
y=det(Ay)det(A)=-1-1=1
Para z,
Az=1&1&12&3&41&2&2, det(Az) =1,(3cdot2-4cdot2)-1,(2cdot2-4cdot1)+1,(2cdot2-3cdot1) =-2-0+1=-1,
z=det(Az)det(A)=-1-1=1

Passo 4

Usamos a inversa de A. Primeiro calculamos a matriz de cofatores e a adjunta:
Cof(A) = -2 & 1 & 1 0 & 0 & -1 1 & -1 & 1 , adj(A)=(Cof(A))^T = -2 & 0 & 1 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1
Como det(A)=-1,
A^-1=1det(A),adj(A) =-1cdot -2 & 0 & 1 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1 = 2 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -1 & 1 & -1
Multiplicando por B:
X=A^-1B = 2 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -1 & 1 & -1 142 =011

Passo 5

Resolvemos por escalonamento da matriz aumentada l[AmidBr]:
1 & 1 & 0 & mid & 1 2 & 3 & 1 & mid & 4 1 & 2 & 0 & mid & 2
Fazendo R2 to R2 - 2R1 e R3 to R3 - R1,
1 & 1 & 0 & mid & 1 0 & 1 & 1 & mid & 2 0 & 1 & 0 & mid & 1
Depois R3 to R3 - R2 e, em seguida, R3 to - R3,
1 & 1 & 0 & mid & 1 0 & 1 & 1 & mid & 2 0 & 0 & 1 & mid & 1
Retro-substituindo: z=1, depois y+z=2 implies y=1, depois x+y=1 implies x=0.

Resposta

(x,y,z)=(0,1,1)

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