O par elétron-pósitron que foi discutido no Capítulo 2 pode formar um sistema semelhante ao átomo de hidrogênio chamado positrônio. Calcule (a) as energias dos três primeiros estados e (b) os comprimentos de onda das linhas alpha e beta da série de Lyman do positrônio. (A observação dessas linhas é considerada como uma assinatura da formação de positrônio.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o positrônio! O enunciado pede para calcular as energias dos três primeiros estados desse sistema e os comprimentos de onda das linhas alpha e beta da série de Lyman. Para isso, vamos precisar entender como as energias dos níveis são calculadas no positrônio e como relacionar essas energias aos comprimentos de onda das transições eletrônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o positrônio é similar a um átomo de hidrogênio, mas ao invés de um próton e um elétron, temos um elétron e um pósitron. Isso significa que a massa efetiva do sistema é a metade da massa do elétron, já que o elétron e o pósitron têm a mesma massa.
A fórmula para a energia dos níveis no átomo de hidrogênio é dada por:
En = -13.6, eVn^2
No caso do positrônio, essa energia é ajustada pela massa reduzida do sistema. A massa reduzida mu para o positrônio é:
mu = me cdot mpme + mp = me2
onde me é a massa do elétron e mp é a massa do pósitron (igual a me).

Passo 3

Com a massa reduzida, a energia dos níveis no positrônio fica:
En = -mume cdot 13.6, eV cdot 1n^2 = -12 cdot 13.6, eV cdot 1n^2 = -6.8, eVn^2
Agora, vamos calcular as energias dos três primeiros estados para n = 1, 2, 3.

Passo 4

Calculando para cada valor de n:
  • Para n = 1:
    E1 = -6.8, eV1^2 = -6.8, eV
  • Para n = 2:
    E2 = -6.8, eV2^2 = -6.8, eV4 = -1.7, eV
  • Para n = 3:
    E3 = -6.8, eV3^2 = -6.8, eV9 approx -0.756, eV

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que pede os comprimentos de onda das linhas alpha e beta da série de Lyman.
A série de Lyman corresponde às transições dos estados superiores para o estado n=1. A linha alpha é a transição de n=2 para n=1, e a linha beta é de n=3 para n=1.
A diferença de energia De entre os dois estados é dada por:
De
E o comprimento de onda lambda associado é:
lambda = hcDe
onde:
  • h é a constante de Planck ( 6.626 times 10^-34, J·s),
  • c é a velocidade da luz ( 3.0 times 10^8, m/s).

Passo 6

Vamos calcular De para cada linha:
  • Linha alpha ( n=2 para n=1):
    De
  • Linha beta ( n=3 para n=1):
    De

Passo 7

Agora, convertamos essas diferenças de energia para joules, já que a fórmula do comprimento de onda usa unidades do SI:
  • 1, eV = 1.602 times 10^-19, J
Então:
  • Linha alpha:
    De
  • Linha beta:
    De

Passo 8

Finalmente, calculamos os comprimentos de onda usando a fórmula lambda = hcDe:
  • Linha alpha:
    lambdaalpha = 6.626 times 10^-34, J·s times 3.0 times 10^8, m/s8.17 times 10^-19, J approx 2.434 times 10^-7, m = 243.4, nm
  • Linha beta:
    lambdabeta = 6.626 times 10^-34, J·s times 3.0 times 10^8, m/s9.68 times 10^-19, J approx 2.05 times 10^-7, m = 205, nm

Resposta

(a) As energias dos três primeiros estados do positrônio são:
  • E1 = -6.8, eV
  • E2 = -1.7, eV
  • E3 approx -0.756, eV
(b) Os comprimentos de onda das linhas alpha e beta da série de Lyman do positrônio são aproximadamente:
  • Linha alpha: 243.4, nm
  • Linha beta: 205, nm

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