O par elétron-pósitron que foi discutido no Capítulo 2 pode formar um sistema semelhante ao átomo de hidrogênio chamado positrônio. Calcule (a) as energias dos três primeiros estados e (b) os comprimentos de onda das linhas
e
da série de Lyman do positrônio. (A observação dessas linhas é considerada como uma assinatura da formação de positrônio.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o positrônio! O enunciado pede para calcular as energias dos três primeiros estados desse sistema e os comprimentos de onda das linhas
e
da série de Lyman. Para isso, vamos precisar entender como as energias dos níveis são calculadas no positrônio e como relacionar essas energias aos comprimentos de onda das transições eletrônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o positrônio é similar a um átomo de hidrogênio, mas ao invés de um próton e um elétron, temos um elétron e um pósitron. Isso significa que a massa efetiva do sistema é a metade da massa do elétron, já que o elétron e o pósitron têm a mesma massa.
A fórmula para a energia dos níveis no átomo de hidrogênio é dada por:
No caso do positrônio, essa energia é ajustada pela massa reduzida do sistema. A massa reduzida
para o positrônio é:
onde
é a massa do elétron e
é a massa do pósitron (igual a
).
Passo 3
Com a massa reduzida, a energia dos níveis no positrônio fica:
Agora, vamos calcular as energias dos três primeiros estados para
.
Passo 4
Calculando para cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que pede os comprimentos de onda das linhas
e
da série de Lyman.
A série de Lyman corresponde às transições dos estados superiores para o estado
. A linha
é a transição de
para
, e a linha
é de
para
.
A diferença de energia
entre os dois estados é dada por:
E o comprimento de onda
associado é:
onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ).
Passo 6
Vamos calcular
para cada linha:
-
Linha
( para ): -
Linha
( para ):
Passo 7
Agora, convertamos essas diferenças de energia para joules, já que a fórmula do comprimento de onda usa unidades do SI:
Então:
-
Linha
: -
Linha
:
Passo 8
Finalmente, calculamos os comprimentos de onda usando a fórmula
:
-
Linha
: -
Linha
:
Resposta
(a) As energias dos três primeiros estados do positrônio são:
(b) Os comprimentos de onda das linhas
e
da série de Lyman do positrônio são aproximadamente:
- Linha
: - Linha
: