Duas partículas pontuais, cada uma de massa M, estão fixas no eixo y nas posições y=+a e y=-a. (a) Determine a função da força gravitacional para um objeto de massa m que posso ser encontrado em qualquer ponto do eixo x. (b) Faça o diagrama de forças que atuam em m .

Passo 1

O enunciado dá duas partículas pontuais idênticas, cada uma de massa M, fixas no eixo y nas posições y=+a e y=-a. Pede duas coisas:
  • (a) Determinar a função da força gravitacional que atua sobre um objeto de massa m que pode estar em qualquer ponto do eixo x.
  • (b) Fazer o diagrama de forças que atuam em m.
Informações relevantes fornecidas:
  • As massas fontes estão em (0,a) e (0,-a).
  • A massa de teste está em um ponto genérico do eixo x, isto é em (x,0), onde x pode ser positivo, negativo ou zero.
  • Constante gravitacional universal G (usar a lei da gravitação universal).

Passo 2

Relembrando a lei da gravitação universal (aula rápida): a força gravitacional entre duas massas puntuais m_1 e m_2 separadas por uma distância r tem módulo
F=\dfrac{G\,m_1 m_2}{r^2},
e a direção é radial, ou seja, ao longo da linha que une as duas massas, sempre de atração (cada massa atrai a outra). Aqui G é a constante gravitacional, m_1 e m_2 são as massas e r é a distância entre elas.
No nosso problema, cada fonte tem massa M e a massa de prova é m. Vamos aplicar a lei duas vezes (uma para cada fonte).

Passo 3

Definir distâncias e vetores (colocar tudo bonitinho para não se perder):
  • Coordenadas: massa de prova em (x,0); fontes em (0,a) e (0,-a).
  • Distância da massa de prova a cada fonte (são iguais por simetria):
r=\sqrt{x^2+a^2}.
Explicação: a distância entre (x,0) e (0,a) é a hipotenusa do triângulo de catetos |x| e a, portanto \sqrt{x^2+a^2}.

Passo 4

Magnitude da força exercida por uma das massas M sobre m:
F_{\text{cada}}=\dfrac{G\,M\,m}{r^2}=\dfrac{G\,M\,m}{x^2+a^2}.
Isto dá apenas o módulo; a força é dirigida ao longo do vetor que vai de (x,0) para a posição da fonte.

Passo 5

Decompor a força de uma fonte em componentes x e y.
Para a fonte em (0,a) o vetor que vai de m para a fonte é (-x,\;a). A componente horizontal (no eixo x) da força vale o módulo vezes o cosseno do ângulo entre a linha de ação e o eixo x. Mais prático: usar o versor radial. O versor que aponta da massa de prova para a fonte tem componentes
\hat{r}=\left(-\dfrac{x}{r},\;\dfrac{a}{r}\right).
Portanto as componentes da força da fonte superior são
F_{1x}=F_{\text{cada}}\left(-\dfrac{x}{r}\right)=-\dfrac{G M m}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} =-\dfrac{G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}},
F_{1y}=F_{\text{cada}}\left(\dfrac{a}{r}\right)=\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}}.
Para a fonte em (0,-a) o vetor é (-x,\;-a) e o versor radial é
\hat{r}'=\left(-\dfrac{x}{r},\;-\dfrac{a}{r}\right).
Logo as componentes da força da fonte inferior são
F_{2x}=-\dfrac{G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}},
F_{2y}=-\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}}.
Observação didática: os módulos F_{\text{cada}} são iguais, as componentes x têm o mesmo sinal e as componentes y têm sinais opostos; por isso as componentes y vão se cancelar.

Passo 6

Somar as contribuições das duas massas para obter a força total sobre m.
Somando as componentes x:
F_x = F_{1x}+F_{2x} = -\dfrac{G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}} -\dfrac{G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}} = -\dfrac{2G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}.
Somando as componentes y:
F_y=F_{1y}+F_{2y}=\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}} - \dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}}=0.
Portanto a força resultante é puramente ao longo do eixo x. Escrevendo em forma vetorial (usando o versor do eixo x),
\vec{F}(x)= -\dfrac{2G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{x}}.

Passo 7

Interpretação física rápida (útil para prova): o sinal de x determina a direção:
  • Se x>0, então \vec{F} aponta para a esquerda (negativo em x), puxando m em direção ao plano y (origem).
  • Se x<0, \vec{F} aponta para a direita (positivo em x).
  • Em x=0 a força total é zero (equilíbrio). Pequenas deslocamentos geram uma força proporcional a -x (expansão linear próxima de zero), pois para |x|\ll a
\vec{F}(x)\approx -\dfrac{2G M m}{a^3}\,x\,\hat{\mathbf{x}},
logo é um ponto de equilíbrio restaurador (estável localmente).

Passo 8

Diagrama de forças pedido em (b) — descrição explícita (para desenhar na prova):
  • Colocar a massa m em (x,0).
  • Desenhar duas setas: \vec{F}_1 partindo de m e apontando na direção de (0,a) (diagonal para cima e à esquerda se x>0); \vec{F}_2 partindo de m e apontando na direção de (0,-a) (diagonal para baixo e à esquerda se x>0).
  • Escrever os módulos iguais: F_1=F_2=\dfrac{G M m}{x^2+a^2}.
  • Escrever as componentes de cada seta:
    • Horizontais: F_{1x}=F_{2x}=-\dfrac{G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}.
    • Verticais: F_{1y}=+\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}}, F_{2y}=-\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}} (essas duas se cancelam).
  • Indicar a resultante \vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 ao longo do eixo x com valor dado no Passo 6.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F}(x)=-\dfrac{2G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{x}}\n
(b) Duas forças \vec{F}_1 e \vec{F}_2 aplicadas em m, apontando em direção a (0,a) e (0,-a) respectivamente, com módulos \displaystyle F_1=F_2=\dfrac{G M m}{x^2+a^2}. Componentes: F_{1x}=F_{2x}=-\dfrac{G M m\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}, F_{1y}=+\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}}, F_{2y}=-\dfrac{G M m\,a}{(x^2+a^2)^{3/2}}; as componentes y se cancelam e a resultante é a dada em (a).

Exercícios relacionados