Duas partículas pontuais, cada uma de massa
, estão fixas no eixo
nas posições
e
. (a) Determine a função da força gravitacional para um objeto de massa
que posso ser encontrado em qualquer ponto do eixo
. (b) Faça o diagrama de forças que atuam em m .
Passo 1
O enunciado dá duas partículas pontuais idênticas, cada uma de massa
, fixas no eixo
nas posições
e
. Pede duas coisas:
- (a) Determinar a função da força gravitacional que atua sobre um objeto de massa
que pode estar em qualquer ponto do eixo . - (b) Fazer o diagrama de forças que atuam em
.
Informações relevantes fornecidas:
- As massas fontes estão em
e . - A massa de teste está em um ponto genérico do eixo
, isto é em , onde pode ser positivo, negativo ou zero. - Constante gravitacional universal
(usar a lei da gravitação universal).
Passo 2
Relembrando a lei da gravitação universal (aula rápida): a força gravitacional entre duas massas puntuais
e
separadas por uma distância
tem módulo
e a direção é radial, ou seja, ao longo da linha que une as duas massas, sempre de atração (cada massa atrai a outra). Aqui
é a constante gravitacional,
e
são as massas e
é a distância entre elas.
No nosso problema, cada fonte tem massa
e a massa de prova é
. Vamos aplicar a lei duas vezes (uma para cada fonte).
Passo 3
Definir distâncias e vetores (colocar tudo bonitinho para não se perder):
- Coordenadas: massa de prova em
; fontes em e . - Distância da massa de prova a cada fonte (são iguais por simetria):
Explicação: a distância entre
e
é a hipotenusa do triângulo de catetos
e
, portanto
.
Passo 4
Magnitude da força exercida por uma das massas
sobre
:
Isto dá apenas o módulo; a força é dirigida ao longo do vetor que vai de
para a posição da fonte.
Passo 5
Decompor a força de uma fonte em componentes
e
.
Para a fonte em
o vetor que vai de
para a fonte é
. A componente horizontal (no eixo
) da força vale o módulo vezes o cosseno do ângulo entre a linha de ação e o eixo
. Mais prático: usar o versor radial. O versor que aponta da massa de prova para a fonte tem componentes
Portanto as componentes da força da fonte superior são
Para a fonte em
o vetor é
e o versor radial é
Logo as componentes da força da fonte inferior são
Observação didática: os módulos
são iguais, as componentes
têm o mesmo sinal e as componentes
têm sinais opostos; por isso as componentes
vão se cancelar.
Passo 6
Somar as contribuições das duas massas para obter a força total sobre
.
Somando as componentes
:
Somando as componentes
:
Portanto a força resultante é puramente ao longo do eixo
. Escrevendo em forma vetorial (usando o versor do eixo
),
Passo 7
Interpretação física rápida (útil para prova): o sinal de
determina a direção:
- Se
, então aponta para a esquerda (negativo em ), puxando em direção ao plano (origem). - Se
, aponta para a direita (positivo em ). - Em
a força total é zero (equilíbrio). Pequenas deslocamentos geram uma força proporcional a (expansão linear próxima de zero), pois para
logo é um ponto de equilíbrio restaurador (estável localmente).
Passo 8
Diagrama de forças pedido em (b) — descrição explícita (para desenhar na prova):
- Colocar a massa
em . - Desenhar duas setas:
partindo de e apontando na direção de (diagonal para cima e à esquerda se ); partindo de e apontando na direção de (diagonal para baixo e à esquerda se ). - Escrever os módulos iguais:
. - Escrever as componentes de cada seta:
- Horizontais:
. - Verticais:
, (essas duas se cancelam).
- Horizontais:
- Indicar a resultante
ao longo do eixo com valor dado no Passo 6.
Resposta
(a)
\n
(b) Duas forças e
aplicadas em
, apontando em direção a
e
respectivamente, com módulos
. Componentes:
,
,
; as componentes
se cancelam e a resultante é a dada em (a).
(b) Duas forças