Questão 4 - Considere um sistema massa-mola, composto por uma moa de constante k e uma massa m , sujeito a uma força de amortecimento proporcional a velocidade dada
. O sistema está no regime crítico de amortecimento.
a) Determine a constante d amortecimento b em função de k e m.
b) Sabendo que o sistema parte de
com velocidade nula, determine a posição x do sistema em função do tempo em termos de
e m .
a) Determine a constante d amortecimento b em função de k e m.
b) Sabendo que o sistema parte de
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola com massa
, constante elástica
e força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. O sistema está no regime crítico de amortecimento.
As perguntas são:
As perguntas são:
- (a) determinar a constante de amortecimento
em função de e ; - (b) sabendo que a condição inicial é
e , determinar em função de e .
Informações relevantes dadas:
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Força de amortecimento:
(ou seja, força dissipativa proporcional à velocidade, com coeficiente ). - Regime: crítico (isso significa que o discriminante da equação característica é zero).
- Condições iniciais:
e .
Passo 2
Escrever a equação diferencial do movimento usando a segunda lei de Newton. Soma das forças iguais a massa vezes aceleração:
a força elástica é e a força de amortecimento é
. Portanto a equação é
a força elástica é
Aqui
é a posição,
é a velocidade e
é a aceleração.
Passo 3
Resolver a equação homogênea por meio da equação característica: assumir solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
O discriminante dessa quadrática é
. O regime crítico de amortecimento significa que as raízes são iguais, portanto
Resolvendo para
(tomando a raiz positiva, pois
):
Portanto, a constante de amortecimento crítica é
.
Passo 4
Determinar a raiz repetida da equação característica no caso crítico. Quando
a raiz é
Substituindo o valor crítico de
obtemos
É útil definir a frequência natural sem amortecimento
. Assim
.
Passo 5
Forma geral da solução no caso de raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz dupla
, as soluções independentes são
e
. Logo a solução geral é
Substituindo
,
Passo 6
Determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Primeiro, em
:
Agora calcular a derivada
. Aplicando a regra do produto:
Agrupando:
Avaliar em
e usar
:
Como
, segue
Passo 7
Substituir
e
na solução geral:
Lembrando
, a expressão final é
Comentário físico rápido: essa solução decai monotonicamente para zero sem oscilações (característico do amortecimento crítico) e é a resposta para as condições iniciais dadas.