Questão 4 - Considere um sistema massa-mola, composto por uma moa de constante k e uma massa m , sujeito a uma força de amortecimento proporcional a velocidade dada \mathrm{por} \mathrm{F}=-\mathrm{b} \mathrm{dx} / \mathrm{dt}. O sistema está no regime crítico de amortecimento.
a) Determine a constante d amortecimento b em função de k e m.
b) Sabendo que o sistema parte de \mathrm{x}_{0} com velocidade nula, determine a posição x do sistema em função do tempo em termos de \mathrm{x}_{0}, \mathrm{k} e m .

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola com massa \,m, constante elástica \,k e força de amortecimento proporcional à velocidade dada por \,F=-b\,\dfrac{dx}{dt}. O sistema está no regime crítico de amortecimento.
As perguntas são:
  • (a) determinar a constante de amortecimento \,b em função de \,k e \,m;
  • (b) sabendo que a condição inicial é \,x(0)=x_{0} e \,x'(0)=0, determinar \,x(t) em função de \,x_{0},\,k e \,m.
Informações relevantes dadas:
  • Massa: \,m.
  • Constante da mola: \,k.
  • Força de amortecimento: \,F=-b\,\dfrac{dx}{dt} (ou seja, força dissipativa proporcional à velocidade, com coeficiente \,b>0).
  • Regime: crítico (isso significa que o discriminante da equação característica é zero).
  • Condições iniciais: \,x(0)=x_{0} e \,x'(0)=0.

Passo 2

Escrever a equação diferencial do movimento usando a segunda lei de Newton. Soma das forças iguais a massa vezes aceleração:
a força elástica é -k x e a força de amortecimento é -b x'. Portanto a equação é
m\,x'' + b\,x' + k\,x = 0.
Aqui \,x(t) é a posição, \,x'(t)=\dfrac{dx}{dt} é a velocidade e \,x''(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração.

Passo 3

Resolver a equação homogênea por meio da equação característica: assumir solução do tipo \,x(t)=e^{r t}. Substituindo obtemos a equação característica
m\,r^{2} + b\,r + k = 0.
O discriminante dessa quadrática é \,\Delta = b^{2} - 4 m k. O regime crítico de amortecimento significa que as raízes são iguais, portanto
\Delta = 0 \quad\Rightarrow\quad b^{2} - 4 m k = 0.
Resolvendo para \,b (tomando a raiz positiva, pois \,b>0):
b = 2\sqrt{m k}.
Portanto, a constante de amortecimento crítica é \,b=2\sqrt{m k}.

Passo 4

Determinar a raiz repetida da equação característica no caso crítico. Quando \,\Delta=0 a raiz é
r = -\frac{b}{2m}.
Substituindo o valor crítico de \,b obtemos
r = -\frac{2\sqrt{m k}}{2m} = -\sqrt{\frac{k}{m}}.
É útil definir a frequência natural sem amortecimento \,\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Assim \,r=-\omega_{0}.

Passo 5

Forma geral da solução no caso de raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz dupla \,r, as soluções independentes são e^{r t} e t e^{r t}. Logo a solução geral é
x(t) = \big(C_{1} + C_{2}\,t\big)\,e^{r t}.
Substituindo r=-\omega_{0},
x(t) = \big(C_{1} + C_{2}\,t\big)\,e^{-\omega_{0} t}.

Passo 6

Determinar as constantes C_{1} e C_{2} usando as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
x(0) = C_{1}\,e^{0} = C_{1} = x_{0}.
Agora calcular a derivada x'(t). Aplicando a regra do produto:
x'(t) = \big(C_{2}\big)\,e^{-\omega_{0} t} + \big(C_{1} + C_{2}t\big)\,(-\omega_{0})\,e^{-\omega_{0} t}.
Agrupando:
x'(t) = e^{-\omega_{0} t}\big(C_{2} - \omega_{0} C_{1} - \omega_{0} C_{2} t\big).
Avaliar em t=0 e usar x'(0)=0:
x'(0) = C_{2} - \omega_{0} C_{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_{2} = \omega_{0} C_{1}.
Como C_{1}=x_{0}, segue
C_{2} = \omega_{0}\,x_{0}.

Passo 7

Substituir C_{1} e C_{2} na solução geral:
x(t) = \big(x_{0} + \omega_{0} x_{0}\,t\big)\,e^{-\omega_{0} t} = x_{0}\big(1 + \omega_{0} t\big)\,e^{-\omega_{0} t}.
Lembrando \,\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, a expressão final é
x(t) = x_{0}\bigg(1 + \sqrt{\frac{k}{m}}\,t\bigg)\exp\!\Big(-\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\Big).
Comentário físico rápido: essa solução decai monotonicamente para zero sem oscilações (característico do amortecimento crítico) e é a resposta para as condições iniciais dadas.

Resposta

b = 2\sqrt{m k}
x(t)=x_{0}\bigg(1+\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t\bigg)\exp\!\Big(-\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t\Big)

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