Titã, a maior lua de Saturno, tem um raio orbital médio de
. O período orbital de Titã é de 15,95 dias. Hipérion, outra lua de Saturno, orbita a um raio médio de
. Use a terceira lei de Kepler do movimento planetário para prever o período orbital de Hipérion em dias.
Passo 1
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Raio orbital médio de Titã:
. - Período orbital de Titã:
. - Raio orbital médio de Hipérion:
.
Pergunta que o enunciado faz:
- Usar a terceira lei de Kepler para prever o período orbital de Hipérion
em dias.
Passo 2
Enunciando a lei e explicando as variáveis (aula rápida, sem pânico):
- A terceira lei de Kepler diz que, para objetos que orbitam o mesmo corpo massivo, o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior (ou raio médio, para órbitas quase circulares). Em forma matemática:
- Para duas luas que orbitam o mesmo planeta podemos escrever a relação entre seus períodos e raios:
- Isolando
obtemos a fórmula prática que vamos usar:
Onde:
-
e são os períodos das duas luas (mesma unidade, aqui dias). -
e são os raios orbitais médios (mesma unidade, aqui metros).
Essa forma é muito conveniente: não precisamos do valor da massa do planeta porque ela cancela.
Passo 3
Calcular a razão dos raios:
Vou chamar esta razão de
:
Passo 4
Calcular
. Uma forma prática é fazer
.
- Primeiro calcular
. Aproximação:
- Agora multiplicar por
:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula para
:
Explicando: multiplica-se o período conhecido pela razão geométrica elevada a
. Aqui deu aproximadamente
dias.
Passo 6
Interpretação e atenção à precisão:
- Os dados originais têm cerca de 3 algarismos significativos nos raios; portanto arredondar para três dígitos significativos no resultado seria razoável:
. - Mantendo mais dígitos, a previsão numérica é
dias (como calculei acima).