Titã, a maior lua de Saturno, tem um raio orbital médio de 1,22 \times 10^{9} \mathrm{~m}. O período orbital de Titã é de 15,95 dias. Hipérion, outra lua de Saturno, orbita a um raio médio de 1,48 \times 10^{9} \mathrm{~m}. Use a terceira lei de Kepler do movimento planetário para prever o período orbital de Hipérion em dias.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Raio orbital médio de Titã: a_1 = 1,22 \times 10^{9}\\ \mathrm{m}.
  • Período orbital de Titã: T_1 = 15{,}95\\ \mathrm{dias}.
  • Raio orbital médio de Hipérion: a_2 = 1,48 \times 10^{9}\\ \mathrm{m}.
Pergunta que o enunciado faz:
  • Usar a terceira lei de Kepler para prever o período orbital de Hipérion T_2 em dias.

Passo 2

Enunciando a lei e explicando as variáveis (aula rápida, sem pânico):
  • A terceira lei de Kepler diz que, para objetos que orbitam o mesmo corpo massivo, o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior (ou raio médio, para órbitas quase circulares). Em forma matemática:
T^{2}\propto a^{3}.
  • Para duas luas que orbitam o mesmo planeta podemos escrever a relação entre seus períodos e raios:
\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}}=\frac{a_{2}^{3}}{a_{1}^{3}}.
  • Isolando T_2 obtemos a fórmula prática que vamos usar:
T_{2}=T_{1}\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{3/2}.
Onde:
  • T_1 e T_2 são os períodos das duas luas (mesma unidade, aqui dias).
  • a_1 e a_2 são os raios orbitais médios (mesma unidade, aqui metros).
    Essa forma é muito conveniente: não precisamos do valor da massa do planeta porque ela cancela.

Passo 3

Calcular a razão dos raios:
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1,48\times10^{9}}{1,22\times10^{9}}=\frac{1,48}{1,22}=1{,}213114754\ldots
Vou chamar esta razão de r:
r \approx 1{,}213114754.

Passo 4

Calcular r^{3/2}. Uma forma prática é fazer r^{3/2}=r\sqrt{r}.
  • Primeiro calcular \sqrt{r}. Aproximação:
\sqrt{1{,}213114754}\approx 1{,}101409.
  • Agora multiplicar por r:
r^{3/2}=r\sqrt{r}\approx 1{,}213114754\times 1{,}101409 \approx 1{,}3361353.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula para T_2:
T_{2}=T_{1}\,r^{3/2}\approx 15{,}95\times 1{,}3361353 \approx 21{,}31\\ \text{dias}.
Explicando: multiplica-se o período conhecido pela razão geométrica elevada a 3/2. Aqui deu aproximadamente 21{,}31 dias.

Passo 6

Interpretação e atenção à precisão:
  • Os dados originais têm cerca de 3 algarismos significativos nos raios; portanto arredondar para três dígitos significativos no resultado seria razoável: T_{2}\approx 21{,}3\\ \text{dias}.
  • Mantendo mais dígitos, a previsão numérica é 21{,}31 dias (como calculei acima).

Resposta

21{,}31\\ \text{dias}

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