Duas partículas possuem posições:
x_{A}(t)=2 t+1 e x_{B}(t)=t^{2}-5 t+9. Determine:
a) o instante em que as partículas se encontram;
B) as velocidades de cada partícula no instante do encontro.

Passo 1

O enunciado dá as posições das duas partículas em função do tempo:
x_{A}(t)=2t+1
x_{B}(t)=t^{2}-5t+9
E pede:
a) o(s) instante(s) t em que as partículas se encontram (ou seja, quando x_{A}(t)=x_{B}(t));
b) as velocidades de cada partícula no(s) instante(s) de encontro.

Passo 2

Para encontrar o instante de encontro igualamos as posições:
2t+1 = t^{2}-5t+9.
Agora colocamos tudo em um lado para obter uma equação quadrática:
0 = t^{2}-5t+9 - (2t+1) = t^{2}-7t+8.

Passo 3

Vamos resolver a quadrática \,t^{2}-7t+8=0\,. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \,at^{2}+bt+c=0\,, as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-7, c=8 no nosso caso. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-7)^{2}-4\cdot1\cdot8 = 49-32 = 17.
Portanto as raízes são
t=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}.
Estas são as duas vezes em que as partículas ocupam a mesma posição.

Passo 4

Para termos noção numérica (útil na prova), aproximamos \sqrt{17}\approx 4{,}1231056. Assim:
t_{1}=\frac{7-\sqrt{17}}{2}\approx 1{,}43845, \qquad t_{2}=\frac{7+\sqrt{17}}{2}\approx 5{,}56155.
(É sempre bom apresentar a forma exata e, se necessário, a aproximação.)

Passo 5

Agora precisamos das velocidades no instante do encontro. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Regra prática para polinômios: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}, a derivada de a t é a, e a derivada de constante é 0.
Calculamos as velocidades das partículas:
v_{A}(t)=\frac{d}{dt}x_{A}(t)=\frac{d}{dt}(2t+1)=2,
v_{B}(t)=\frac{d}{dt}x_{B}(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}-5t+9)=2t-5.
Observe que v_{A} é constante ( 2) e v_{B} depende de t.

Passo 6

Avaliamos v_{A} e v_{B} nos instantes de encontro t=\dfrac{7\pm\sqrt{17}}{2}.
Para v_{A}:
v_{A}\bigg(\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}\bigg)=2.
Para v_{B}:
v_{B}\bigg(\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}\bigg)=2\cdot\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}-5=(7\pm\sqrt{17})-5=2\pm\sqrt{17}.
Em forma aproximada:
v_{B}\bigg(\frac{7-\sqrt{17}}{2}\bigg)\approx 2-4{,}1231\approx -2{,}1231, \qquad v_{B}\bigg(\frac{7+\sqrt{17}}{2}\bigg)\approx 2+4{,}1231\approx 6{,}1231.

Resposta

a) t=\dfrac{7-\sqrt{17}}{2} e t=\dfrac{7+\sqrt{17}}{2} \approx 1{,}43845 e 5{,}56155.\n
b) No encontro em t=\dfrac{7-\sqrt{17}}{2}: v_{A}=2, v_{B}=2-\sqrt{17} \approx -2{,}1231.\n
No encontro em t=\dfrac{7+\sqrt{17}}{2}: v_{A}=2, v_{B}=2+\sqrt{17} \approx 6{,}1231.

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