Duas partículas possuem posições:
e
. Determine:
a) o instante em que as partículas se encontram;
B) as velocidades de cada partícula no instante do encontro.
a) o instante em que as partículas se encontram;
B) as velocidades de cada partícula no instante do encontro.
Passo 1
O enunciado dá as posições das duas partículas em função do tempo:
E pede:
a) o(s) instante(s) em que as partículas se encontram (ou seja, quando
);
b) as velocidades de cada partícula no(s) instante(s) de encontro.
a) o(s) instante(s)
b) as velocidades de cada partícula no(s) instante(s) de encontro.
Passo 2
Para encontrar o instante de encontro igualamos as posições:
Agora colocamos tudo em um lado para obter uma equação quadrática:
Passo 3
Vamos resolver a quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
onde
,
,
no nosso caso. Calculamos o discriminante:
Portanto as raízes são
Estas são as duas vezes em que as partículas ocupam a mesma posição.
Passo 4
Para termos noção numérica (útil na prova), aproximamos
. Assim:
(É sempre bom apresentar a forma exata e, se necessário, a aproximação.)
Passo 5
Agora precisamos das velocidades no instante do encontro. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Regra prática para polinômios: a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de constante é
.
Calculamos as velocidades das partículas:
Observe que
é constante (
) e
depende de
.
Passo 6
Avaliamos
e
nos instantes de encontro
.
Para
:
Para
:
Em forma aproximada:
Resposta
a)
e
e
.\n
b) No encontro em :
,
.\n
No encontro em :
,
.
b) No encontro em
No encontro em