O vetor posição de um drone de monitoramento ambiental é dado por:
. Determine:
a) o vetor velocidade;
b) o vetor aceleração;
c) a posição no instante
;
d) o módulo da velocidade no instante
.
a) o vetor velocidade;
b) o vetor aceleração;
c) a posição no instante
d) o módulo da velocidade no instante
Passo 1
O enunciado fornece o vetor posição do drone
As perguntas são:
a) Determinar o vetor velocidade (função do tempo).
b) Determinar o vetor aceleração (função do tempo).
c) Determinar a posição no instante .
d) Determinar o módulo da velocidade no instante .
a) Determinar o vetor velocidade (função do tempo).
b) Determinar o vetor aceleração (função do tempo).
c) Determinar a posição no instante
d) Determinar o módulo da velocidade no instante
Informações relevantes dadas:
- As componentes do vetor posição são
, e . - Para cada componente iremos derivar em relação ao tempo quando for pedido velocidade (derivada primeira) e aceleração (derivada segunda).
Passo 2
Conceito e procedimento para achar o vetor velocidade: o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Isso significa derivar cada componente escalar do vetor posição separadamente. Em termos práticos, se
então
Agora aplicando nas componentes fornecidas:
- Derivada de
é (regra: derivada de é ). - Derivada de
é (regra: derivada de é ; constante some). - Derivada de
é .
Portanto o vetor velocidade é
Passo 3
Conceito e procedimento para achar o vetor aceleração: o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja a segunda derivada do vetor posição. Aplicamos a mesma ideia componente a componente:
Usando
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo a aceleração é
Passo 4
Posição no instante
: basta substituir
nas componentes do vetor posição original
.
-
. -
. -
.
Portanto a posição em
é
Passo 5
Módulo da velocidade em
: primeiro calcular
substituindo
em
:
O módulo de um vetor
é dado por
Aplicando aqui:
Se quiser uma aproximação numérica,
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)