O vetor posição de um drone de monitoramento ambiental é dado por: \overrightarrow{r^{\prime}}(t)=(2 t) \mathbf{i}+\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+(4 t-3) \mathbf{k}. Determine:
a) o vetor velocidade;
b) o vetor aceleração;
c) a posição no instante \mathrm{t}=3 \mathrm{~s};
d) o módulo da velocidade no instante \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece o vetor posição do drone
\overrightarrow{r^{\prime}}(t)=(2t)\,\mathbf{i}+\bigl(t^{2}-1\bigr)\,\mathbf{j}+(4t-3)\,\mathbf{k}.
As perguntas são:
a) Determinar o vetor velocidade (função do tempo).
b) Determinar o vetor aceleração (função do tempo).
c) Determinar a posição no instante t=3\\ \text{s}.
d) Determinar o módulo da velocidade no instante t=3\\ \text{s}.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes do vetor posição são x(t)=2t, y(t)=t^{2}-1 e z(t)=4t-3.
  • Para cada componente iremos derivar em relação ao tempo quando for pedido velocidade (derivada primeira) e aceleração (derivada segunda).

Passo 2

Conceito e procedimento para achar o vetor velocidade: o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Isso significa derivar cada componente escalar do vetor posição separadamente. Em termos práticos, se
\overrightarrow{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},
então
\overrightarrow{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=x'(t)\,\mathbf{i}+y'(t)\,\mathbf{j}+z'(t)\,\mathbf{k}.
Agora aplicando nas componentes fornecidas:
  • Derivada de x(t)=2t é x'(t)=2 (regra: derivada de at é a).
  • Derivada de y(t)=t^{2}-1 é y'(t)=2t (regra: derivada de t^{2} é 2t; constante some).
  • Derivada de z(t)=4t-3 é z'(t)=4.
Portanto o vetor velocidade é
\overrightarrow{v}(t)=2\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}.

Passo 3

Conceito e procedimento para achar o vetor aceleração: o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja a segunda derivada do vetor posição. Aplicamos a mesma ideia componente a componente:
\overrightarrow{a}(t)=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=x''(t)\,\mathbf{i}+y''(t)\,\mathbf{j}+z''(t)\,\mathbf{k}.
Usando \overrightarrow{v}(t)=2\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}:
  • Derivada de 2 é 0.
  • Derivada de 2t é 2.
  • Derivada de 4 é 0.
Logo a aceleração é
\overrightarrow{a}(t)=0\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=2\,\mathbf{j}.

Passo 4

Posição no instante t=3\\ \text{s}: basta substituir t=3 nas componentes do vetor posição original \overrightarrow{r^{\prime}}(t).
  • x(3)=2\cdot 3=6.
  • y(3)=3^{2}-1=9-1=8.
  • z(3)=4\cdot 3-3=12-3=9.
Portanto a posição em t=3\\ \text{s} é
\overrightarrow{r^{\prime}}(3)=6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}.

Passo 5

Módulo da velocidade em t=3\\ \text{s}: primeiro calcular \overrightarrow{v}(3) substituindo t=3 em \overrightarrow{v}(t)=2\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}:
\overrightarrow{v}(3)=2\,\mathbf{i}+2\cdot 3\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}=2\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}.
O módulo de um vetor \overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z) é dado por
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aplicando aqui:
\|\overrightarrow{v}(3)\|=\sqrt{2^{2}+6^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+36+16}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.
Se quiser uma aproximação numérica,
2\sqrt{14}\approx 7,483\\ \text{(unidades de comprimento por segundo)}.

Resposta

a) \overrightarrow{v}(t)=2\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}
b) \overrightarrow{a}(t)=2\,\mathbf{j}
c) \overrightarrow{r^{\prime}}(3)=6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}
d) \|\overrightarrow{v}(3)\|=2\sqrt{14}\approx 7,483

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