Duas partículas possuem trajetórias dadas pelos traços das curvas
ambas com tempo entre
. Em que pontos essas trajetórias se cruzam? Em qual instante essas partículas colidem?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas que seguem trajetórias diferentes no plano, dadas pelas curvas vetoriais:
com o tempo $ t $ variando entre $ -\pi $ e $ \pi $. Nosso objetivo é descobrir onde essas trajetórias se cruzam e em qual instante as partículas colidem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como encontrar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender o que significa a trajetória de cada partícula. Cada uma delas tem uma posição no plano descrita pelas componentes $ x(t) $ e $ y(t) $ em função do tempo $ t $.
Para a primeira partícula:
E para a segunda partícula:
Passo 3
Encontrando os pontos de interseção das trajetórias:
Queremos encontrar os pontos onde as trajetórias se cruzam, ou seja, pontos
que pertencem às duas curvas. Isso significa que existe um tempo $ t_1 $ para a primeira partícula e um tempo $ t_2 $ para a segunda partícula tais que:
Vamos igualar as componentes $ x $ e $ y $:
- $ 2 \sin t_1 = 2 t_2^{3} $
$ \sin t_1 = t_2^{3} $ \quad (Equação 1) - $ -2 \cos t_1 = 2 t_2^{3} - 2 $
$ -\cos t_1 = t_2^{3} - 1 $ \quad (Equação 2)
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar $ t_1 $ e $ t_2 $.
Da Equação 1:
Da Equação 2:
Agora, igualamos as duas expressões para $ t_2^{3} $:
Passo 5
Temos agora uma equação envolvendo apenas $ t_1 $:
Vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de $ t_1 $.
Uma maneira prática de resolver essa equação é testando valores de $ t $ que estejam dentro do intervalo dado $ -\pi \leq t \leq \pi $. Vamos testar alguns valores:
-
Para $ t = 0 $:
-
Para $ t = \frac{\pi}{2} $:
-
Para $ t = -\frac{\pi}{2} $:
-
Para $ t = \pi $:
-
Para $ t = -\pi $:
Portanto, os valores de $ t_1 $ que satisfazem a equação são $ t_1 = 0 $ e $ t_1 = \frac{\pi}{2} $.
Passo 6
Vamos agora encontrar os correspondentes valores de $ t_2 $ usando a Equação 1:
Para $ t_1 = 0 $:
Para $ t_1 = \frac{\pi}{2} $:
Agora, temos dois pares de tempos que levam às interseções das trajetórias:
- $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 0 $
- $ t_1 = \frac{\pi}{2} $, $ t_2 = 1 $
Passo 7
Vamos encontrar os pontos de interseção correspondentes:
Para $ t_1 = 0 $:
E para $ t_2 = 0 $:
Portanto, um ponto de interseção é $ (0, -2) $.
Para $ t_1 = \frac{\pi}{2} $:
E para $ t_2 = 1 $:
Então, outro ponto de interseção é $ (2, 0) $.
Passo 8
Resumindo os pontos de interseção:
As trajetórias das partículas se cruzam nos pontos $ (0, -2) $ e $ (2, 0) $.
Verificando os instantes de colisão:
A colisão ocorre quando as duas partículas estão no mesmo ponto ao mesmo tempo. Ou seja, quando $ t_1 = t_2 $.
Dos pares de tempos que encontramos:
- $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 0 $
colisão no instante $ t = 0 $. - $ t_1 = \frac{\pi}{2} $, $ t_2 = 1 $
$ t_1 \neq t_2 $, então não há colisão nesse caso.
Resposta
As trajetórias das partículas se cruzam nos pontos $ (0, -2) $ e $ (2, 0) $. As partículas colidem no instante $ t = 0 $.