Duas partículas possuem trajetórias dadas pelos traços das curvas
alpha1(t)=2 sen t i-2 cos t j, alpha2(t)=2 t^3 i+(2 t^3-2) j,
ambas com tempo entre -pi <= t <= pi. Em que pontos essas trajetórias se cruzam? Em qual instante essas partículas colidem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas que seguem trajetórias diferentes no plano, dadas pelas curvas vetoriais:
alpha1(t)=2 sin t i - 2 cos t j, alpha2(t)=2 t^3 i + (2 t^3 - 2) j,
com o tempo $ t $ variando entre $ -\pi $ e $ \pi $. Nosso objetivo é descobrir onde essas trajetórias se cruzam e em qual instante as partículas colidem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender o que significa a trajetória de cada partícula. Cada uma delas tem uma posição no plano descrita pelas componentes $ x(t) $ e $ y(t) $ em função do tempo $ t $.
Para a primeira partícula:
x(t)
E para a segunda partícula:
y(t)

Passo 3

Encontrando os pontos de interseção das trajetórias:
Queremos encontrar os pontos onde as trajetórias se cruzam, ou seja, pontos (x, y) que pertencem às duas curvas. Isso significa que existe um tempo $ t_1 $ para a primeira partícula e um tempo $ t_2 $ para a segunda partícula tais que:
t1
Vamos igualar as componentes $ x $ e $ y $:
  1. $ 2 \sin t_1 = 2 t_2^{3} $ t2 $ \sin t_1 = t_2^{3} $ \quad (Equação 1)
  2. $ -2 \cos t_1 = 2 t_2^{3} - 2 $ x1(t1) = x2(t2) e y1(t1) = y2(t2) $ -\cos t_1 = t_2^{3} - 1 $ \quad (Equação 2)

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar $ t_1 $ e $ t_2 $.
Da Equação 1:
t1
Da Equação 2:
t2
Agora, igualamos as duas expressões para $ t_2^{3} $:
sin t1 = t2^3 Rightarrow t2^3 = sin t1

Passo 5

Temos agora uma equação envolvendo apenas $ t_1 $:
t1
Vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de $ t_1 $.
Uma maneira prática de resolver essa equação é testando valores de $ t $ que estejam dentro do intervalo dado $ -\pi \leq t \leq \pi $. Vamos testar alguns valores:
  • Para $ t = 0 $:
    sin t1 + cos t1 = 1
  • Para $ t = \frac{\pi}{2} $:
    t1
  • Para $ t = -\frac{\pi}{2} $:
    t
  • Para $ t = \pi $:
    -pi <= t <= pi
  • Para $ t = -\pi $:
    t = 0
Portanto, os valores de $ t_1 $ que satisfazem a equação são $ t_1 = 0 $ e $ t_1 = \frac{\pi}{2} $.

Passo 6

Vamos agora encontrar os correspondentes valores de $ t_2 $ usando a Equação 1:
Para $ t_1 = 0 $:
t2
Para $ t_1 = \frac{\pi}{2} $:
t1 = 0
Agora, temos dois pares de tempos que levam às interseções das trajetórias:
  1. $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 0 $
  2. $ t_1 = \frac{\pi}{2} $, $ t_2 = 1 $

Passo 7

Vamos encontrar os pontos de interseção correspondentes:
Para $ t_1 = 0 $:
t1 = 0
E para $ t_2 = 0 $:
alpha1(0) = 2 sin 0 i - 2 cos 0 j = 0 i - 2 j = (0, -2)
Portanto, um ponto de interseção é $ (0, -2) $.
Para $ t_1 = \frac{\pi}{2} $:
t2 = 0
E para $ t_2 = 1 $:
alpha2(0) = 2 cdot 0^3 i + (2 cdot 0^3 - 2) j = 0 i - 2 j = (0, -2)
Então, outro ponto de interseção é $ (2, 0) $.

Passo 8

Resumindo os pontos de interseção:
As trajetórias das partículas se cruzam nos pontos $ (0, -2) $ e $ (2, 0) $.
Verificando os instantes de colisão:
A colisão ocorre quando as duas partículas estão no mesmo ponto ao mesmo tempo. Ou seja, quando $ t_1 = t_2 $.
Dos pares de tempos que encontramos:
  1. $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 0 $ (0, -2) colisão no instante $ t = 0 $.
  2. $ t_1 = \frac{\pi}{2} $, $ t_2 = 1 $ (2, 0) $ t_1 \neq t_2 $, então não há colisão nesse caso.

Resposta

As trajetórias das partículas se cruzam nos pontos $ (0, -2) $ e $ (2, 0) $. As partículas colidem no instante $ t = 0 $.

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