Determine se as séries abaixos divergem ou convergem sem utilizar o teste da razão.
sumn=2^infty sen 4 n4^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge, sem usar o teste da razão:
sumn=2^infty sin 4n4^n
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve funções trigonométricas e progressões geométricas. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação e entender um pouco sobre convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
an = sin 4n4^n
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin 4n <= 1

Passo 3

Com isso, podemos encontrar o valor absoluto de $ a_n $:
an
Isso nos mostra que cada termo da série em valor absoluto é menor ou igual a $ \frac{1}{4^{n}} $.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a série comparativa:
sumn=2^infty 14^n
Essa é uma série geométrica com razão $ r = \frac{1}{4} $. Sabemos que uma série geométrica converge se $ |r| < 1 $, o que é o caso aqui, já que $ \frac{1}{4} < 1 $.

Passo 5

Como $ |a_n| \leq \frac{1}{4^{n}} $ e a série $ \sum \frac{1}{4^{n}} $ converge, pelo Teste da Comparação, a série original $ \sum \frac{\sin 4n}{4^{n}} $ também converge absolutamente.

Resposta

A série $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin 4n}{4^{n}} $ converge absolutamente.

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