Determine se as séries abaixos divergem ou convergem sem utilizar o teste da razão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série abaixo converge ou diverge, sem usar o teste da razão:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve funções trigonométricas e progressões geométricas. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação e entender um pouco sobre convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Com isso, podemos encontrar o valor absoluto de $ a_n $:
Isso nos mostra que cada termo da série em valor absoluto é menor ou igual a $ \frac{1}{4^{n}} $.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a série comparativa:
Essa é uma série geométrica com razão $ r = \frac{1}{4} $. Sabemos que uma série geométrica converge se $ |r| < 1 $, o que é o caso aqui, já que $ \frac{1}{4} < 1 $.
Passo 5
Como $ |a_n| \leq \frac{1}{4^{n}} $ e a série $ \sum \frac{1}{4^{n}} $ converge, pelo Teste da Comparação, a série original $ \sum \frac{\sin 4n}{4^{n}} $ também converge absolutamente.
Resposta
A série $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin 4n}{4^{n}} $ converge absolutamente.