Calcule os comprimentos dos gráficos de
Dica: baseie-se no Exemplo 4.8.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular os comprimentos dos gráficos das funções $ f(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} $ e $ g(x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}} $ no intervalo de $ x $ de 1 a 2. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva. Basicamente, o comprimento de arco nos diz quão “longa” é uma curva entre dois pontos. Vamos precisar calcular as derivadas das funções e integrar uma expressão que envolve essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e é essencial para encontrar o comprimento do arco.
Passo 3
Calculando a derivada de $ f(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} $:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para $ f(x) $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou aproximados para calcular o comprimento de arco. Vamos agora fazer o mesmo para a função $ g(x) $.
Passo 7
Calculando a derivada de $ g(x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}} $:
Passo 8
Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco para $ g(x) $:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 10
Assim como para $ f(x) $, essa integral também é bem complicada para resolver de forma exata, então a gente normalmente recorre a métodos numéricos para calcular o comprimento do arco.
Passo 11
Para obter os valores numéricos dos comprimentos dos arcos $ L_f $ e $ L_g $, podemos usar uma calculadora científica ou software de matemática que suporte integrais numéricas. Após realizar os cálculos, obtemos os comprimentos aproximados:
- Comprimento do grafo de $ f(x) $ de 1 a 2: Aproximadamente 18.42 unidades.
- Comprimento do grafo de $ g(x) $ de 1 a 2: Aproximadamente 32.97 unidades.
Resposta
O comprimento do grafo de $ f(x) $ no intervalo [1, 2] é aproximadamente 18.42 unidades, e o comprimento do grafo de $ g(x) $ no mesmo intervalo é aproximadamente 32.97 unidades.