Duas partículas quânticas são espalhadas. A amplitude de probabilidade f_{12}(\theta) foi determinada a ser
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4} \sqrt{\frac{15}{7 \pi}}\left(1+\cos ^{2} \theta\right)
Finalmente, o experimento é feito com dois fótons. Qual é a (densidade de) probabilidade de observar os fótons espalhados em \theta_{0} ?

Passo 1

O enunciado dá a amplitude de espalhamento entre duas partículas como
f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)
e pergunta qual é a (densidade de) probabilidade de observar os fótons espalhados em \theta_{0} quando o experimento é feito com dois fótons.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Amplitude: }f_{12}(\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr).
\theta_{0} é o ângulo polar onde queremos a densidade de probabilidade.
Os fótons são partículas idênticas e são bósons (spin inteiro).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar): quando duas partículas idênticas são espalhadas, há duas maneiras indistinguíveis de obter a mesma configuração de detecção (trocar as duas partículas). Em amplitude quântica devemos somar as contribuições dessas possibilidades antes de obter a probabilidade. Para bósons somamos com sinal positivo; para férmions com sinal negativo. Assim, a amplitude total para detectar uma partícula em \theta (e a outra no complemento) é
\text{amplitude}_{\text{total}}(\theta)=f_{12}(\theta)+f_{12}(\pi-\theta).
A densidade de probabilidade por unidade de ângulo sólido (ou a seção de choque diferencial, que é proporcional à probabilidade) é dada pelo módulo ao quadrado da amplitude total:
\frac{dP}{d\Omega}(\theta)\propto \bigl|\text{amplitude}_{\text{total}}(\theta)\bigr|^{2}.
Aqui, como os fótons são bósons, usamos o sinal + na soma das amplitudes.

Passo 3

Calcule f_{12}(\pi-\theta). Usamos a identidade trigonométrica \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta, logo
\cos^{2}(\pi-\theta)=\cos^{2}\theta.
Portanto
f_{12}(\pi-\theta)=\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\bigl(1+\cos^{2}(\pi-\theta)\bigr) =\frac{\mathrm{i}}{4}\sqrt{\frac{15}{7\pi}}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)=f_{12}(\theta).

Passo 4

Como f_{12}(\pi-\theta)=f_{12}(\theta), a amplitude total para bósons é
\text{amplitude}_{\text{total}}(\theta)=f_{12}(\theta)+f_{12}(\pi-\theta)=2\,f_{12}(\theta).

Passo 5

Agora calculamos o módulo ao quadrado da amplitude total. Primeiro o módulo ao quadrado de f_{12}(\theta):
\bigl|f_{12}(\theta)\bigr|^{2}=\left|\frac{\mathrm{i}}{4}\right|^{2}\left(\frac{15}{7\pi}\right)\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2}.
Como \left|\frac{\mathrm{i}}{4}\right|^{2}=\frac{1}{16}, obtemos
\bigl|f_{12}(\theta)\bigr|^{2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{15}{7\pi}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2} =\frac{15}{112\pi}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2}.
Então
\bigl|\text{amplitude}_{\text{total}}(\theta)\bigr|^{2} =|2\,f_{12}(\theta)|^{2}=4\,\bigl|f_{12}(\theta)\bigr|^{2} =4\cdot\frac{15}{112\pi}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2}.
Simplificando 4\cdot\frac{15}{112}=\frac{60}{112}=\frac{15}{28}, temos
\bigl|\text{amplitude}_{\text{total}}(\theta)\bigr|^{2} =\frac{15}{28\pi}\bigl(1+\cos^{2}\theta\bigr)^{2}.

Passo 6

Interpretação final: a expressão acima é a densidade de probabilidade por unidade de ângulo sólido (proporcional à seção de choque diferencial) para observar os dois fótons com polarização/identidade indiferenciadas, detectando-os no ângulo polar \theta. Avaliando em \theta=\theta_{0} obtemos a densidade no ângulo pedido.

Resposta

\frac{dP}{d\Omega}(\theta_{0})=\frac{15}{28\pi}\bigl(1+\cos^{2}\theta_{0}\bigr)^{2}

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