Suponha que uma máquina é comprada por \mathrm{R} \ 25.000,00 e que, ao sair da loja, essa máquina perdeá16 % do seu valor. Se o valor da máquina decai de forma diretamente proporcional ao tempo de uso, então quanto tempo (de uso) a máquina ficará em atividade, sabendo que daqui a 14 anos (de uso) o seu valor será deáãááá\mathrm{R} $14.000,00$ ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Preço de compra: \mathrm{R}\$\,25.000,00.
  • Ao sair da loja a máquina perde 16\% do seu valor.
  • O valor da máquina decai de forma diretamente proporcional ao tempo de uso.
  • Daqui a 14 anos de uso o valor será \mathrm{R}\$\,14.000,00.
  • Pergunta: quanto tempo (de uso) a máquina ficará em atividade? (interpreto isso como: por quantos anos, a partir do momento em que sai da loja, o valor chegará a zero?)

Passo 2

Entender matematicamente “decai de forma diretamente proporcional ao tempo”. Isso significa que a perda de valor acumulada é proporcional ao tempo. Um modelo simples e natural é linear:
V(t)=V_0 - k\,t,
onde:
  • V(t) é o valor da máquina após t anos de uso (a contagem de t começa quando ela sai da loja);
  • V_0 é o valor inicial imediatamente após sair da loja;
  • k>0 é a taxa constante de perda de valor por ano (em reais por ano);
  • t está em anos.
Explicando com calma: “diretamente proporcional” quer dizer que, se dobrar o tempo, dobra-se a perda total — isso é o comportamento de uma reta decrescente: perda acumulada =k\,t. Por isso subtrai-se k\,t de V_0.

Passo 3

Calcular o valor inicial V_0 imediatamente após sair da loja. A máquina perde 16\% do valor de compra, logo ela vale 84\% do preço de compra:
V_0 = \mathrm{R}\$\,25.000,00\times(1-0,16)=\mathrm{R}\$\,25.000,00\times0,84.
Fazendo a conta:
V_0=\mathrm{R}\$\,21.000,00.

Passo 4

Usar a informação V(14)=\mathrm{R}\$\,14.000,00 para determinar k. Substituindo na fórmula linear:
V(14)=V_0 - k\cdot14.
Substituindo V(14)=\mathrm{R}\$\,14.000,00 e V_0=\mathrm{R}\$\,21.000,00:
\mathrm{R}\$\,14.000,00=\mathrm{R}\$\,21.000,00 - k\cdot14.
Isolando k:
k=\frac{\mathrm{R}\$\,21.000,00-\mathrm{R}\$\,14.000,00}{14}=\frac{\mathrm{R}\$\,7.000,00}{14}.
Calculando:
k=\mathrm{R}\$\,500,00\\ \text{por ano}.

Passo 5

Agora determinar o tempo total até o valor chegar a zero. Resolver V(T)=0 em
V(T)=V_0 - k\,T.
Portanto
0= \mathrm{R}\$\,21.000,00 - (\mathrm{R}\$\,500,00)\,T.
Isolando T:
T=\frac{\mathrm{R}\$\,21.000,00}{\mathrm{R}\$\,500,00}.
Fazendo a divisão:
T=42\\ \text{anos}.

Passo 6

Interpretação e checagem: o cálculo considera o tempo contado a partir do momento em que a máquina sai da loja (quando já vale \mathrm{R}\$\,21.000,00). A taxa de perda é constante e igual a \mathrm{R}\$\,500,00 por ano, então em 42 anos a perda acumulada é 42\times\mathrm{R}\$\,500,00=\mathrm{R}\$\,21.000,00, zerando o valor — faz sentido.

Resposta

42 anos

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