Suponha que uma máquina é comprada por
25.000,00
16 %
\mathrm{R} $14.000,00$ ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Preço de compra:
. - Ao sair da loja a máquina perde
do seu valor. - O valor da máquina decai de forma diretamente proporcional ao tempo de uso.
- Daqui a
anos de uso o valor será . - Pergunta: quanto tempo (de uso) a máquina ficará em atividade? (interpreto isso como: por quantos anos, a partir do momento em que sai da loja, o valor chegará a zero?)
Passo 2
Entender matematicamente “decai de forma diretamente proporcional ao tempo”. Isso significa que a perda de valor acumulada é proporcional ao tempo. Um modelo simples e natural é linear:
onde:
-
é o valor da máquina após anos de uso (a contagem de começa quando ela sai da loja); -
é o valor inicial imediatamente após sair da loja; -
é a taxa constante de perda de valor por ano (em reais por ano); -
está em anos.
Explicando com calma: “diretamente proporcional” quer dizer que, se dobrar o tempo, dobra-se a perda total — isso é o comportamento de uma reta decrescente: perda acumulada
. Por isso subtrai-se
de
.
Passo 3
Calcular o valor inicial
imediatamente após sair da loja. A máquina perde
do valor de compra, logo ela vale
do preço de compra:
Fazendo a conta:
Passo 4
Usar a informação
para determinar
. Substituindo na fórmula linear:
Substituindo
e
:
Isolando
:
Calculando:
Passo 5
Agora determinar o tempo total até o valor chegar a zero. Resolver
em
Portanto
Isolando
:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Interpretação e checagem: o cálculo considera o tempo contado a partir do momento em que a máquina sai da loja (quando já vale
). A taxa de perda é constante e igual a
por ano, então em
anos a perda acumulada é
, zerando o valor — faz sentido.