Complete a seguinte afirmação: o momento linear (momentum) será conservado numa colisão de dois corpos se, e somente se,
(a) A força externa resultante sobre o sistema de dois corpos for zero
(b) A colisão for elástica
(c) A energia cinética do sistema se conservar
(d) Ambos os corpos ficarem em repouso após a colisão
(e) As forças internas do sistema de dois corpos se cancelarem em pares ação-reação.

Passo 1

O enunciado pede: completar a frase “o momento linear (momentum) será conservado numa colisão de dois corpos se, e somente se,” escolhendo entre as alternativas (a) a (e).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as alternativas são exatamente (a) a (e) e precisamos decidir qual é a condição necessária e suficiente para conservação do momento linear do sistema de dois corpos.

Passo 2

Definição do que chamamos de momento linear total do sistema. Seja um sistema com dois corpos cujos momentos lineares individuais são \mathbf{p}_1 e \mathbf{p}_2. O momento linear total do sistema é
\mathbf{P} = \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2.
Aqui \mathbf{p}_i é o vetor momento linear do corpo i; se o corpo i tem massa m_i e velocidade \mathbf{v}_i, então \mathbf{p}_i = m_i\mathbf{v}_i.

Passo 3

Aplicando a Segunda Lei de Newton a cada partícula (em forma vetorial): a taxa de variação do momento linear de cada corpo é igual à soma das forças que atuam sobre ele:
\frac{d\mathbf{p}_1}{dt} = \mathbf{F}_1^{\text{ext}} + \mathbf{F}_{12}, \qquad \frac{d\mathbf{p}_2}{dt} = \mathbf{F}_2^{\text{ext}} + \mathbf{F}_{21},
onde \mathbf{F}_i^{\text{ext}} é a força externa sobre o corpo i e \mathbf{F}_{ij} é a força exercida sobre i pelo outro corpo j (força interna ao sistema).

Passo 4

Somando as duas equações do Passo 3 obtemos a variação do momento linear total:
\frac{d\mathbf{P}}{dt} = \frac{d\mathbf{p}_1}{dt} + \frac{d\mathbf{p}_2}{dt} = \left(\mathbf{F}_1^{\text{ext}}+\mathbf{F}_2^{\text{ext}}\right) + \left(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}\right).
Ou seja, a taxa de variação do momento total é a soma das forças externas mais a soma das forças internas.

Passo 5

Uso da Terceira Lei de Newton (ação e reação) para as forças internas. Se as forças internas obedecem à ação e reação, então
\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21},
portanto
\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21} = \mathbf{0}.
Substituindo isso em d\mathbf{P}/dt do Passo 4 temos
\frac{d\mathbf{P}}{dt} = \mathbf{F}_1^{\text{ext}}+\mathbf{F}_2^{\text{ext}} \equiv \mathbf{F}_{\text{ext, total}}.
Ou seja, a variação do momento linear total do sistema é igual à resultante das forças externas sobre o sistema.

Passo 6

Prova do “se e somente se” (duas direções):
  • Se a força externa resultante sobre o sistema for zero, \mathbf{F}_{\text{ext, total}}=\mathbf{0}, então \frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{0} e portanto \mathbf{P} é constante no tempo — o momento linear é conservado. (Isto mostra que (a) implica conservação.)
  • Se o momento linear total é conservado, então \frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{0}. Pela relação do Passo 5 segue que \mathbf{F}_{\text{ext, total}}=\mathbf{0}. (Isto mostra que conservação implica (a).)
    Portanto a condição necessária e suficiente para conservação do momento linear do sistema é que a resultante das forças externas seja zero. Isso corresponde exatamente à alternativa (a).

Passo 7

Análise rápida das outras alternativas para deixar claro por que são falsas:
  • (b) “A colisão for elástica”: falso. Colisões elásticas conservam energia cinética, mas não é obrigatório que sejam necessárias para conservar o momento. Mesmo uma colisão perfeitamente inelástica (os corpos grudam) conserva momento se não houver força externa resultante. Logo elasticidade não é condição necessária.
  • (c) “A energia cinética do sistema se conservar”: falso. Conservação da energia cinética (evento de colisão elástica) não é equivalente a conservação do momento; são conceitos distintos. Pode haver conservação do momento sem conservação da energia cinética (colisão inelástica) e vice‑versa, conservação de energia cinética não garante ausência de forças externas.
  • (d) “Ambos os corpos ficarem em repouso após a colisão”: falso e muito específico. Isso é uma situação particular e não equivale a condição geral de conservação do momento. Além disso, se ambos ficam em repouso, o momento final é zero — mas isso só conserva momento se o momento inicial também fosse zero.
  • (e) “As forças internas do sistema de dois corpos se cancelarem em pares ação-reação”: embora seja verdade que, segundo a Terceira Lei, forças internas típicas cancelem em pares (o que usamos no Passo 5), isso por si só não garante conservação do momento: ainda pode haver uma força externa resultante não nula que mude \mathbf{P}. Assim (e) é necessário (no contexto newtoniano) para derivar a relação do Passo 5, mas não é condição suficiente nem equivalente à conservação do momento — a conservação requer explicitamente que a soma das forças externas seja zero.

Passo 8

Resumo final da argumentação: usando a segunda e terceira leis de Newton chegamos à identidade
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{F}_{\text{ext, total}},
logo \mathbf{P} é constante se, e somente se, \mathbf{F}_{\text{ext, total}}=\mathbf{0}. Esta é precisamente a alternativa (a).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados