Complete a seguinte afirmação: o momento linear (momentum) será conservado numa colisão de dois corpos se, e somente se,
(a) A força externa resultante sobre o sistema de dois corpos for zero
(b) A colisão for elástica
(c) A energia cinética do sistema se conservar
(d) Ambos os corpos ficarem em repouso após a colisão
(e) As forças internas do sistema de dois corpos se cancelarem em pares ação-reação.
(a) A força externa resultante sobre o sistema de dois corpos for zero
(b) A colisão for elástica
(c) A energia cinética do sistema se conservar
(d) Ambos os corpos ficarem em repouso após a colisão
(e) As forças internas do sistema de dois corpos se cancelarem em pares ação-reação.
Passo 1
O enunciado pede: completar a frase “o momento linear (momentum) será conservado numa colisão de dois corpos se, e somente se,” escolhendo entre as alternativas (a) a (e).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as alternativas são exatamente (a) a (e) e precisamos decidir qual é a condição necessária e suficiente para conservação do momento linear do sistema de dois corpos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as alternativas são exatamente (a) a (e) e precisamos decidir qual é a condição necessária e suficiente para conservação do momento linear do sistema de dois corpos.
Passo 2
Definição do que chamamos de momento linear total do sistema. Seja um sistema com dois corpos cujos momentos lineares individuais são
e
. O momento linear total do sistema é
Aqui
é o vetor momento linear do corpo
; se o corpo
tem massa
e velocidade
, então
.
Passo 3
Aplicando a Segunda Lei de Newton a cada partícula (em forma vetorial): a taxa de variação do momento linear de cada corpo é igual à soma das forças que atuam sobre ele:
onde
é a força externa sobre o corpo
e
é a força exercida sobre
pelo outro corpo
(força interna ao sistema).
Passo 4
Somando as duas equações do Passo 3 obtemos a variação do momento linear total:
Ou seja, a taxa de variação do momento total é a soma das forças externas mais a soma das forças internas.
Passo 5
Uso da Terceira Lei de Newton (ação e reação) para as forças internas. Se as forças internas obedecem à ação e reação, então
portanto
Substituindo isso em
do Passo 4 temos
Ou seja, a variação do momento linear total do sistema é igual à resultante das forças externas sobre o sistema.
Passo 6
Prova do “se e somente se” (duas direções):
- Se a força externa resultante sobre o sistema for zero,
, então e portanto é constante no tempo — o momento linear é conservado. (Isto mostra que (a) implica conservação.) - Se o momento linear total é conservado, então
. Pela relação do Passo 5 segue que . (Isto mostra que conservação implica (a).)
Portanto a condição necessária e suficiente para conservação do momento linear do sistema é que a resultante das forças externas seja zero. Isso corresponde exatamente à alternativa (a).
Passo 7
Análise rápida das outras alternativas para deixar claro por que são falsas:
- (b) “A colisão for elástica”: falso. Colisões elásticas conservam energia cinética, mas não é obrigatório que sejam necessárias para conservar o momento. Mesmo uma colisão perfeitamente inelástica (os corpos grudam) conserva momento se não houver força externa resultante. Logo elasticidade não é condição necessária.
- (c) “A energia cinética do sistema se conservar”: falso. Conservação da energia cinética (evento de colisão elástica) não é equivalente a conservação do momento; são conceitos distintos. Pode haver conservação do momento sem conservação da energia cinética (colisão inelástica) e vice‑versa, conservação de energia cinética não garante ausência de forças externas.
- (d) “Ambos os corpos ficarem em repouso após a colisão”: falso e muito específico. Isso é uma situação particular e não equivale a condição geral de conservação do momento. Além disso, se ambos ficam em repouso, o momento final é zero — mas isso só conserva momento se o momento inicial também fosse zero.
- (e) “As forças internas do sistema de dois corpos se cancelarem em pares ação-reação”: embora seja verdade que, segundo a Terceira Lei, forças internas típicas cancelem em pares (o que usamos no Passo 5), isso por si só não garante conservação do momento: ainda pode haver uma força externa resultante não nula que mude
. Assim (e) é necessário (no contexto newtoniano) para derivar a relação do Passo 5, mas não é condição suficiente nem equivalente à conservação do momento — a conservação requer explicitamente que a soma das forças externas seja zero.
Passo 8
Resumo final da argumentação: usando a segunda e terceira leis de Newton chegamos à identidade
logo
é constante se, e somente se,
. Esta é precisamente a alternativa (a).
Resposta
(a)