Um objeto se move de acordo com a equação de movimento ddotx+c dotx+x=0, com 0.
(a) Considerando a condição inicial x(0)=0, e dotx(0)=1, determine a posição do objeto em função do tempo, x(t).
(b) Encontre o coeficiente de amortecimento c para o qual o período do movimento seja 50 % maior que o período do movimento não amortecido (c=0) correspondente.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que um objeto obedece à EDO
ddot x + c,dot x + x = 0, 0
com condição inicial e .
Parte (a): achar .
Parte (b): escolher de modo que o período amortecido seja 50% maior que o período sem amortecimento ( ).
Matéria: equações diferenciais de 2º ordem com amortecimento (movimento harmônico amortecido). Vamos precisar de:
  1. resolver a equação característica;
  2. escrever a solução geral;
  3. aplicar as condições iniciais;
  4. relacionar períodos.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + c,r + 1 = 0
As raízes são
r = -c pm raizc^2 - 42
Como r = -c2 pm i,omegad,, temos omegad = raiz4 - c^22 = raiz1 - l(c2r)^2 e as raízes são complexas:
x(t) = e^-c2tl(Acos(omegad t) + Bsin(omegad t)r)
onde definimos
Logo a solução geral (subamortecida) é

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. x(0) = A = 0
dot x(0) = B,omegad = 1 ;Longrightarrow; B = 1omegad
Logo
2)
Em :

Passo 4

Substituindo x(t) = e^-c2t,1omegad,sin(omegad t), omegad = raiz1 - l(tfracc2r)^2 e da Passo 3, nossa solução fica:

Passo 5

Vamos achar Td = 2piomegad tal que o período amortecido
T0 = 2pi1 = 2pi
seja Td = 1,5,T0 ;Longrightarrow; 2piomegad = 1,5,(2pi) ;Longrightarrow; 1omegad = 1,5 ;Longrightarrow; omegad = 23 maior que o não amortecido
1 - c^24 = 49 ;Longrightarrow; c^24 = 1 - 49 = 59 ;Longrightarrow; c^2 = 209 ;Longrightarrow; c = 2raiz53
Ou seja,
Mas . Portanto

Resposta

a)
b)

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