Um objeto se move de acordo com a equação de movimento
, com
.
(a) Considerando a condição inicial
, e
, determine a posição do objeto em função do tempo,
.
(b) Encontre o coeficiente de amortecimento
para o qual o período do movimento seja
maior que o período do movimento não amortecido
correspondente.
(a) Considerando a condição inicial
(b) Encontre o coeficiente de amortecimento
Passo 1
Beleza, o exercício diz que um objeto obedece à EDO
com condição inicial
e
.
Parte (a): achar .
Parte (b): escolher de modo que o período amortecido seja 50% maior que o período sem amortecimento (
).
Matéria: equações diferenciais de 2º ordem com amortecimento (movimento harmônico amortecido). Vamos precisar de:
Parte (a): achar
Parte (b): escolher
Matéria: equações diferenciais de 2º ordem com amortecimento (movimento harmônico amortecido). Vamos precisar de:
- resolver a equação característica;
- escrever a solução geral;
- aplicar as condições iniciais;
- relacionar períodos.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO:
As raízes são
Como
, temos
e as raízes são complexas:
onde definimos
Logo a solução geral (subamortecida) é
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais:
-
⇒
Logo
2)
Em :
2)
Em
Passo 4
Substituindo
e
da Passo 3, nossa solução fica:
Passo 5
Vamos achar
tal que o período amortecido
seja
maior que o não amortecido
Ou seja,
Mas
. Portanto
Resposta
a)
b)
b)