Duas pessoas, cada uma de massa
, estão em pé em uma das extremidades de um vagão de massa
, com rodas sem atrito, em uma estrada de ferro. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora dele com velocidade
(relativa ao vagão).
a) Use a conservação do momento para determinar a velocidade de recuo do vagão se as duas pessoas correrem e pularem simultaneamente.
b) O que acontece se uma delas começar a correr apenas depois que a outra tiver saltado? Qual dos procedimentos gera a maior velocidade para o vagão? [Sugestão: a velocidade
é a velocidade de cada uma das pessoas, relativa ao vagão, logo após ele ter saltado; ela tem o mesmo valor para qualquer uma das pessoas e é a mesma nos itens (a) e (b).]
a) Use a conservação do momento para determinar a velocidade de recuo do vagão se as duas pessoas correrem e pularem simultaneamente.
b) O que acontece se uma delas começar a correr apenas depois que a outra tiver saltado? Qual dos procedimentos gera a maior velocidade para o vagão? [Sugestão: a velocidade
Passo 1
O enunciado dá o seguinte e pede duas coisas:
-
Dados fornecidos:
- Duas pessoas de massa
cada uma, em pé, uma em cada extremidade de um vagão de massa . - Cada pessoa pode correr pelo vagão até a outra extremidade e saltar para fora com velocidade
relativa ao vagão, imediatamente após saltar. - Rodas sem atrito ⇒ não há força horizontal externa que mude o momento linear do sistema horizontalmente durante os saltos.
- Duas pessoas de massa
-
Perguntas:
(a) Se as duas pessoas correrem e saltarem simultaneamente (ambas saltam ao mesmo tempo), qual é a velocidade de recuo do vagão?
(b) O que ocorre se uma pessoa só começar a correr após a outra já ter saltado? Qual procedimento (simultâneo ou um após o outro) gera a maior velocidade do vagão?
Observação: a velocidade
é sempre a velocidade de cada pessoa relativa ao vagão no instante do salto e tem o mesmo valor nos itens (a) e (b).
Passo 2
Princípio físico a usar (explicação didática):
- Como não há forças horizontais externas (rodas sem atrito), o momento linear total horizontal do sistema é conservado durante cada salto. Isso significa que a soma dos momentos (massa vezes velocidade) de todos os corpos envolvidos antes do evento vale a soma depois do evento.
- Convencione um eixo horizontal: escolher o sentido para a frente (para onde as pessoas saltam) como positivo. Se o vagão recuar no sentido oposto, sua velocidade aparecerá negativa.
- Relação velocidade relativa → se o vagão tem velocidade final
(no referencial do solo) e uma pessoa salta com velocidade em relação ao vagão no sentido positivo, então a velocidade da pessoa no solo é . Essa é uma soma direta de velocidades: velocidade no solo = velocidade do vagão + velocidade relativa ao vagão.
Agora vamos aplicar isso caso a caso.
Passo 3
Situação: antes do salto tudo está inicialmente em repouso (velocidade zero). As duas pessoas saltam ao mesmo tempo com velocidade relativa
para a direita (sentido positivo). Após o salto o vagão terá alguma velocidade
(provavelmente negativa, ou seja, recuando para a esquerda).
Escrevendo a conservação do momento linear horizontal:
- Momento antes do salto:
. - Momento depois do salto: momento do vagão + momentos das duas pessoas.
Em fórmulas:
Somando os termos:
Agrupando
:
Isolando
:
Interpretação: o sinal negativo indica que o vagão se move para a esquerda (oposto ao salto). Esse é o resultado para o caso simultâneo.
Passo 4
Agora o caso em que uma pessoa salta primeiro e a outra só começa a correr depois. Analisar em duas etapas: primeiro salto (primeira pessoa sai), depois o segundo salto.
Etapa 1 — depois do primeiro salto:
- Inicialmente tudo em repouso; a primeira pessoa salta com velocidade relativa
ao vagão para a direita. A segunda pessoa permanece sobre o vagão e passa a ter a mesma velocidade do vagão após o impulso. - Conservação do momento para o primeiro salto:
Aqui o segundo
é a segunda pessoa ainda em cima do vagão, movendo-se com
.
Somando:
Somando:
Isolando:
Explicação: após o primeiro salto o vagão (e a pessoa que ficou em cima) recuam com velocidade
para a esquerda.
Passo 5
Etapa 2 — segundo salto:
- Antes do segundo salto, o sistema já tem a primeira pessoa fora do vagão com velocidade
(constante após ter saltado), enquanto o vagão e a segunda pessoa movem-se juntos com velocidade . - Como não há forças externas horizontais, o momento total do sistema (vagão + ambas as pessoas) é conservado durante o segundo salto. Podemos portanto escrever momento total imediatamente antes do segundo salto igual ao momento total imediatamente depois.
Momento antes do segundo salto:
- primeira pessoa:
(pegamos esse valor porque ela saiu no passo anterior) - vagão + segunda pessoa:
Somando:
Mas, por conservação já válida do primeiro salto, esse momento total é zero (poderia substituir explicitamente), e de fato
. Vou usar a igualdade direta após escrever a expressão final.
Momento depois do segundo salto:
- vagão com velocidade
: . - segunda pessoa que salta agora, relativa ao vagão com velocidade
: . - primeira pessoa permanece com sua velocidade
: .
Conservação (momento antes = momento depois). Como
, impondo
:
Agrupando os termos em
:
Expandindo o último parêntese:
Agora substituímos
(do Passo 4):
Substituindo:
Isolando
:
Colocando em uma única fração o numerador do lado direito:
Calcule o numerador:
Portanto
Finalmente:
Esse é o recoil final do vagão quando os saltos são feitos em sequência (primeiro um, depois o outro).
Passo 6
Comparar as magnitudes dos dois resultados:
- Simultâneo (Passo 3):
- Sequencial (Passo 5):
Calcule a razão das magnitudes:
Observe que, para
, tem-se
logo a razão é maior que
. Portanto
: o procedimento sequencial produz maior velocidade de recuo do vagão do que saltos simultâneos.
Intuição física (explicação amigável): quando as duas pessoas saltam ao mesmo tempo, o impulso total age sobre o vagão mais massivo junto das duas massas simultaneamente; quando uma salta primeiro, o segundo ainda em cima “ajuda” menos a amortecer o recuo do vagão no segundo salto — cada salto sucessivo age sobre um conjunto com massa menor (no segundo salto o sistema que recebe o impulso é apenas o vagão, sem a outra pessoa), gerando maior recuo final. Em outras palavras, dividir os impulsos em dois eventos separados é mais eficaz para produzir recuo do que aplicar o mesmo impulso total em um único evento.
Resposta
(a)
.\n
(b) Após o primeiro salto e, depois do segundo, o vagão fica com
. O procedimento sequencial gera maior velocidade de recuo (ou seja,
).
(b) Após o primeiro salto