Duas pessoas, cada uma de massa m_{h}, estão em pé em uma das extremidades de um vagão de massa m_{v}, com rodas sem atrito, em uma estrada de ferro. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora dele com velocidade u (relativa ao vagão).
a) Use a conservação do momento para determinar a velocidade de recuo do vagão se as duas pessoas correrem e pularem simultaneamente.
b) O que acontece se uma delas começar a correr apenas depois que a outra tiver saltado? Qual dos procedimentos gera a maior velocidade para o vagão? [Sugestão: a velocidade u é a velocidade de cada uma das pessoas, relativa ao vagão, logo após ele ter saltado; ela tem o mesmo valor para qualquer uma das pessoas e é a mesma nos itens (a) e (b).]

Passo 1

O enunciado dá o seguinte e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Duas pessoas de massa m_{h} cada uma, em pé, uma em cada extremidade de um vagão de massa m_{v}.
    • Cada pessoa pode correr pelo vagão até a outra extremidade e saltar para fora com velocidade u relativa ao vagão, imediatamente após saltar.
    • Rodas sem atrito ⇒ não há força horizontal externa que mude o momento linear do sistema horizontalmente durante os saltos.
  • Perguntas:
    (a) Se as duas pessoas correrem e saltarem simultaneamente (ambas saltam ao mesmo tempo), qual é a velocidade de recuo do vagão?
    (b) O que ocorre se uma pessoa só começar a correr após a outra já ter saltado? Qual procedimento (simultâneo ou um após o outro) gera a maior velocidade do vagão?
Observação: a velocidade u é sempre a velocidade de cada pessoa relativa ao vagão no instante do salto e tem o mesmo valor nos itens (a) e (b).

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática):
  • Como não há forças horizontais externas (rodas sem atrito), o momento linear total horizontal do sistema é conservado durante cada salto. Isso significa que a soma dos momentos (massa vezes velocidade) de todos os corpos envolvidos antes do evento vale a soma depois do evento.
  • Convencione um eixo horizontal: escolher o sentido para a frente (para onde as pessoas saltam) como positivo. Se o vagão recuar no sentido oposto, sua velocidade aparecerá negativa.
  • Relação velocidade relativa → se o vagão tem velocidade final V (no referencial do solo) e uma pessoa salta com velocidade u em relação ao vagão no sentido positivo, então a velocidade da pessoa no solo é V + u. Essa é uma soma direta de velocidades: velocidade no solo = velocidade do vagão + velocidade relativa ao vagão.
Agora vamos aplicar isso caso a caso.

Passo 3

Situação: antes do salto tudo está inicialmente em repouso (velocidade zero). As duas pessoas saltam ao mesmo tempo com velocidade relativa u para a direita (sentido positivo). Após o salto o vagão terá alguma velocidade V (provavelmente negativa, ou seja, recuando para a esquerda).
Escrevendo a conservação do momento linear horizontal:
  • Momento antes do salto: 0.
  • Momento depois do salto: momento do vagão + momentos das duas pessoas.
Em fórmulas:
m_{v}V + m_{h}(V + u) + m_{h}(V + u) = 0.
Somando os termos:
m_{v}V + 2m_{h}V + 2m_{h}u = 0.
Agrupando V:
V\,(m_{v} + 2m_{h}) + 2m_{h}u = 0.
Isolando V:
V = -\frac{2m_{h}\,u}{m_{v} + 2m_{h}}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o vagão se move para a esquerda (oposto ao salto). Esse é o resultado para o caso simultâneo.

Passo 4

Agora o caso em que uma pessoa salta primeiro e a outra só começa a correr depois. Analisar em duas etapas: primeiro salto (primeira pessoa sai), depois o segundo salto.
Etapa 1 — depois do primeiro salto:
  • Inicialmente tudo em repouso; a primeira pessoa salta com velocidade relativa u ao vagão para a direita. A segunda pessoa permanece sobre o vagão e passa a ter a mesma velocidade do vagão após o impulso.
  • Conservação do momento para o primeiro salto:
m_{v}V_{1} + m_{h}(V_{1}+u) + m_{h}V_{1} = 0.
Aqui o segundo m_{h}V_{1} é a segunda pessoa ainda em cima do vagão, movendo-se com V_{1}.
Somando:
V_{1}(m_{v} + 2m_{h}) + m_{h}u = 0.
Isolando:
V_{1} = -\frac{m_{h}\,u}{m_{v} + 2m_{h}}.
Explicação: após o primeiro salto o vagão (e a pessoa que ficou em cima) recuam com velocidade V_{1} para a esquerda.

Passo 5

Etapa 2 — segundo salto:
  • Antes do segundo salto, o sistema já tem a primeira pessoa fora do vagão com velocidade V_{1}+u (constante após ter saltado), enquanto o vagão e a segunda pessoa movem-se juntos com velocidade V_{1}.
  • Como não há forças externas horizontais, o momento total do sistema (vagão + ambas as pessoas) é conservado durante o segundo salto. Podemos portanto escrever momento total imediatamente antes do segundo salto igual ao momento total imediatamente depois.
Momento antes do segundo salto:
  • primeira pessoa: m_{h}(V_{1}+u) (pegamos esse valor porque ela saiu no passo anterior)
  • vagão + segunda pessoa: (m_{v}+m_{h})V_{1}
    Somando:
P_{\text{antes}} = m_{h}(V_{1}+u) + (m_{v}+m_{h})V_{1}.
Mas, por conservação já válida do primeiro salto, esse momento total é zero (poderia substituir explicitamente), e de fato P_{\text{antes}}=0. Vou usar a igualdade direta após escrever a expressão final.
Momento depois do segundo salto:
  • vagão com velocidade V_{2}: m_{v}V_{2}.
  • segunda pessoa que salta agora, relativa ao vagão com velocidade u: m_{h}(V_{2}+u).
  • primeira pessoa permanece com sua velocidade V_{1}+u: m_{h}(V_{1}+u).
Conservação (momento antes = momento depois). Como P_{\text{antes}}=0, impondo P_{\text{depois}}=0:
m_{v}V_{2} + m_{h}(V_{2}+u) + m_{h}(V_{1}+u) = 0.
Agrupando os termos em V_{2}:
V_{2}(m_{v}+m_{h}) + m_{h}u + m_{h}(V_{1}+u) = 0.
Expandindo o último parêntese:
V_{2}(m_{v}+m_{h}) + m_{h}u + m_{h}V_{1} + m_{h}u = 0.
V_{2}(m_{v}+m_{h}) + m_{h}V_{1} + 2m_{h}u = 0.
Agora substituímos V_{1} = -\dfrac{m_{h}u}{m_{v} + 2m_{h}} (do Passo 4):
m_{h}V_{1} = -\frac{m_{h}^{2}u}{m_{v} + 2m_{h}}.
Substituindo:
V_{2}(m_{v}+m_{h}) -\frac{m_{h}^{2}u}{m_{v} + 2m_{h}} + 2m_{h}u = 0.
Isolando V_{2}:
V_{2}(m_{v}+m_{h}) = -2m_{h}u + \frac{m_{h}^{2}u}{m_{v} + 2m_{h}}.
Colocando em uma única fração o numerador do lado direito:
-2m_{h}u + \frac{m_{h}^{2}u}{m_{v} + 2m_{h}} = \frac{-2m_{h}u(m_{v}+2m_{h}) + m_{h}^{2}u}{m_{v}+2m_{h}}.
Calcule o numerador:
-2m_{h}u(m_{v}+2m_{h}) + m_{h}^{2}u = -2m_{h}u m_{v} -4m_{h}^{2}u + m_{h}^{2}u = -2m_{v}m_{h}u -3m_{h}^{2}u.
Portanto
V_{2}(m_{v}+m_{h}) = -\frac{(2m_{v}m_{h} + 3m_{h}^{2})u}{m_{v} + 2m_{h}}.
Finalmente:
V_{2} = -\,\frac{m_{h}\,(2m_{v} + 3m_{h})\,u}{(m_{v} + 2m_{h})(m_{v} + m_{h})}.
Esse é o recoil final do vagão quando os saltos são feitos em sequência (primeiro um, depois o outro).

Passo 6

Comparar as magnitudes dos dois resultados:
  • Simultâneo (Passo 3):
V_{\text{sim}} = -\frac{2m_{h}\,u}{m_{v} + 2m_{h}}.
  • Sequencial (Passo 5):
V_{\text{seq}} = -\frac{m_{h}\,(2m_{v} + 3m_{h})\,u}{(m_{v} + 2m_{h})(m_{v} + m_{h})}.
Calcule a razão das magnitudes:
\frac{|V_{\text{seq}}|}{|V_{\text{sim}}|} = \frac{2m_{v} + 3m_{h}}{2(m_{v} + m_{h})}.
Observe que, para m_{h}>0, tem-se
2m_{v} + 3m_{h} > 2m_{v} + 2m_{h},
logo a razão é maior que 1. Portanto |V_{\text{seq}}| > |V_{\text{sim}}|: o procedimento sequencial produz maior velocidade de recuo do vagão do que saltos simultâneos.
Intuição física (explicação amigável): quando as duas pessoas saltam ao mesmo tempo, o impulso total age sobre o vagão mais massivo junto das duas massas simultaneamente; quando uma salta primeiro, o segundo ainda em cima “ajuda” menos a amortecer o recuo do vagão no segundo salto — cada salto sucessivo age sobre um conjunto com massa menor (no segundo salto o sistema que recebe o impulso é apenas o vagão, sem a outra pessoa), gerando maior recuo final. Em outras palavras, dividir os impulsos em dois eventos separados é mais eficaz para produzir recuo do que aplicar o mesmo impulso total em um único evento.

Resposta

(a) V = -\dfrac{2m_{h}\,u}{m_{v} + 2m_{h}}.\n
(b) Após o primeiro salto V_{1} = -\dfrac{m_{h}\,u}{m_{v} + 2m_{h}} e, depois do segundo, o vagão fica com V_{2} = -\dfrac{m_{h}\,(2m_{v} + 3m_{h})\,u}{(m_{v} + 2m_{h})(m_{v} + m_{h})}. O procedimento sequencial gera maior velocidade de recuo (ou seja, |V_{2}|>|V|).

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