Mostre que a equação de movimento para o foguete, onde \vec{F}^{\text {ext }}=-m g, é dada por:
x(t)=\frac{v_{e x} m_{o}}{|\dot{m}|}\left\{\frac{m_{o}-|\dot{m}| t}{m_{o}}\left[\ln \left(\frac{m_{o}-|\dot{m}| t}{m_{o}}\right)-1\right]+1\right\}-\frac{1}{2} g t^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se mostrar que a posição x(t) do foguete é dada pela expressão indicada, quando a força externa é \vec{F}^{\text{ext}}=-m g (campo gravitacional uniforme, sentido negativo de x).
  • Dados e convenções (tomadas explicitamente):
    • m_o é a massa inicial do foguete em t=0.
    • A perda de massa é uniforme com taxa |\dot{m}| (número positivo). Assim \dot{m}=-|\dot{m}|.
    • v_{e x} é a velocidade de exaustão dos gases em relação ao foguete (valor positivo quando os gases saem para baixo).
    • Condições iniciais adotadas para fixar constantes de integração: v(0)=0 e x(0)=0 (caso contrário aparece uma constante aditiva).
  • A equação final a ser obtida é:
x(t)=\frac{v_{e x} m_{o}}{|\dot{m}|}\left\{\frac{m_{o}-|\dot{m}| t}{m_{o}}\left[\ln \left(\frac{m_{o}-|\dot{m}| t}{m_{o}}\right)-1\right]+1\right\}-\frac{1}{2} g t^{2}.

Passo 2

Expressar a massa do foguete como função do tempo.
  • A massa decresce linearmente com tempo porque \dot m=-|\dot m| (constante). Portanto, integrando:
m(t)=m_{o}+ \dot{m}\,t = m_{o}-|\dot{m}|\,t.
  • Esta expressão vale até o tempo em que a massa útil não se esgota (i.e., enquanto m(t)>0).

Passo 3

Montar a equação de movimento para sistema de massa variável (balanço de momento).
  • Para um foguete que ejeta massa com velocidade relativa v_{e x}, a variação de momento do sistema foguete+combustível leva à famosa forma:
m\frac{dv}{dt} = -v_{e x}\,\dot{m} + F^{\text{ext}}.
Expliquei a origem do termo -v_{e x}\dot m: quando uma pequena massa dm é ejetada para trás (em signo convensional dm<0), ela leva momento; o foguete recebe um impulso (empuxo) que, em primeira ordem, é igual a -v_{e x}\dot m. Com \dot m<0 isso resulta em empuxo positivo para aumentar v.
  • No nosso caso, a força externa é peso vertical para baixo: F^{\text{ext}}=-m g. Assim:
m\frac{dv}{dt} = -v_{e x}\,\dot{m} - m g.

Passo 4

Colocar a equação em forma utilizável e simplificar usando \dot m=-|\dot m|.
  • Dividindo por m:
\frac{dv}{dt} = -v_{e x}\,\frac{\dot{m}}{m} - g.
  • Como \dot m=-|\dot m| e m(t)=m_o-|\dot m|t, nota-se que \dfrac{\dot m}{m}=\dfrac{d}{dt}(\ln m). Podemos usar essa observação para integrar facilmente.

Passo 5

Integrar para obter v(t).
  • Reescrevendo o termo com derivada logarítmica:
\frac{dv}{dt} = -v_{e x}\,\frac{d}{dt}\big(\ln m(t)\big) - g.
  • Integrando ambos os lados de 0 a t, usando v(0)=0:
v(t)-v(0) = -v_{e x}\big(\ln m(t)-\ln m_o\big) - g t.
Com v(0)=0 e \ln m(t)-\ln m_o=\ln\!\big(\dfrac{m(t)}{m_o}\big) temos:
v(t) = -v_{e x}\ln\!\left(\frac{m(t)}{m_o}\right) - g t.
  • Usando m(t)=m_o-|\dot m|t e trocando o sinal dentro do log:
v(t) = v_{e x}\ln\!\left(\frac{m_o}{m_o-|\dot{m}|t}\right) - g t.
(Esta é a velocidade do foguete como função do tempo.)

Passo 6

Integrar v(t) para obter x(t). Planejamento: integrar separadamente o termo com log e o termo -g t.
  • Escrevemos
x(t)=\int_0^t v(t')\,dt' = v_{e x}\int_0^t \ln\!\left(\frac{m_o}{m_o-|\dot{m}|t'}\right)\,dt' - \int_0^t g t'\,dt'.
  • O segundo integral é imediato:
\int_0^t g t'\,dt' = \frac{1}{2} g t^2.

Passo 7

Calcular o integral com o log usando substituição.
  • Denote a=|\dot m| para simplificar a notação.
  • Integramos
I=\int_0^t \ln\!\left(\frac{m_o}{m_o-a t'}\right)\,dt'.
  • Faça a substituição u=m_o-a t'. Então du=-a\,dt' ou dt'=-\dfrac{du}{a}. Quando t'=0, u=m_o. Quando t'=t, u=m_o-a t.
  • Assim
I = -\frac{1}{a}\int_{u=m_o}^{u=m_o-a t} \ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right)\,du.
  • Troque os limites para ficar integral no sentido crescente (troca de sinal):
I = \frac{1}{a}\int_{u=m_o-a t}^{u=m_o} \ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right)\,du.

Passo 8

Resolver a integral \int \ln\!\left(\dfrac{m_o}{u}\right)\,du.
  • Desenvolva a função integranda:
\ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right) = \ln m_o - \ln u.
  • Então
\int \ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right)\,du = \int \ln m_o\,du - \int \ln u\,du = u\ln m_o - (u\ln u - u) + C.
  • Simplificando:
\int \ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right)\,du = u\big(\ln m_o - \ln u + 1\big) + C = u\big(\ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right) + 1\big) + C.

Passo 9

Aplicar os limites e voltar para a variável t.
  • Avaliando a primitiva entre u=m_o-a t e u=m_o:
\int_{m_o-a t}^{m_o} \ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right)\,du = \Big[ u\big(\ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right) + 1\big)\Big]_{u=m_o-a t}^{u=m_o}.
  • No limite superior u=m_o a expressão vale m_o(\ln(m_o/m_o)+1)=m_o(0+1)=m_o.
  • No limite inferior u=m_o-a t a expressão vale (m_o-a t)\big(\ln\!\left(\dfrac{m_o}{m_o-a t}\right)+1\big).
  • Portanto
\int_{m_o-a t}^{m_o} \ln\!\left(\frac{m_o}{u}\right)\,du = m_o - (m_o-a t)\big(\ln\!\left(\dfrac{m_o}{m_o-a t}\right)+1\big).
  • Lembrando que I=\dfrac{1}{a} vezes essa quantidade:
I = \frac{1}{a}\left\{m_o - (m_o-a t)\big(\ln\!\left(\dfrac{m_o}{m_o-a t}\right)+1\big)\right\}.

Passo 10

Montar x(t) usando o resultado do integral e simplificar para a forma pedida.
  • Voltando à expressão para x(t):
x(t)=v_{e x} I - \frac{1}{2} g t^2.
  • Substituindo I:
x(t)=\frac{v_{e x}}{a}\left\{m_o - (m_o-a t)\big(\ln\!\left(\dfrac{m_o}{m_o-a t}\right)+1\big)\right\} - \frac{1}{2} g t^2.
  • Agora fazemos algumas manipulações algébricas para deixar na forma do enunciado. Observe que \ln\!\big(\dfrac{m_o}{m_o-a t}\big) = -\ln\!\big(\dfrac{m_o-a t}{m_o}\big). Substituindo e recolhendo fatores:
x(t)=\frac{v_{e x}m_o}{a}\left\{\frac{m_o-a t}{m_o}\Big[\ln\!\Big(\frac{m_o-a t}{m_o}\Big)-1\Big]+1\right\}-\frac{1}{2} g t^2.
  • Lembrando que a=|\dot m|, isto é exatamente a expressão que queríamos obter.

Resposta

x(t)=\frac{v_{e x} m_{o}}{|\dot{m}|}\left\{\frac{m_{o}-|\dot{m}| t}{m_{o}}\left[\ln \left(\frac{m_{o}-|\dot{m}| t}{m_{o}}\right)-1\right]+1\right\}-\frac{1}{2} g t^{2}

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