Mostre que a equação de movimento para o foguete, onde
, é dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se mostrar que a posição
do foguete é dada pela expressão indicada, quando a força externa é (campo gravitacional uniforme, sentido negativo de ). - Dados e convenções (tomadas explicitamente):
-
é a massa inicial do foguete em . - A perda de massa é uniforme com taxa
(número positivo). Assim . -
é a velocidade de exaustão dos gases em relação ao foguete (valor positivo quando os gases saem para baixo). - Condições iniciais adotadas para fixar constantes de integração:
e (caso contrário aparece uma constante aditiva).
-
- A equação final a ser obtida é:
Passo 2
Expressar a massa do foguete como função do tempo.
- A massa decresce linearmente com tempo porque
(constante). Portanto, integrando:
- Esta expressão vale até o tempo em que a massa útil não se esgota (i.e., enquanto
).
Passo 3
Montar a equação de movimento para sistema de massa variável (balanço de momento).
- Para um foguete que ejeta massa com velocidade relativa
, a variação de momento do sistema foguete+combustível leva à famosa forma:
Expliquei a origem do termo
: quando uma pequena massa
é ejetada para trás (em signo convensional
), ela leva momento; o foguete recebe um impulso (empuxo) que, em primeira ordem, é igual a
. Com
isso resulta em empuxo positivo para aumentar
.
- No nosso caso, a força externa é peso vertical para baixo:
. Assim:
Passo 4
Colocar a equação em forma utilizável e simplificar usando
.
- Dividindo por
:
- Como
e , nota-se que . Podemos usar essa observação para integrar facilmente.
Passo 5
Integrar para obter
.
- Reescrevendo o termo com derivada logarítmica:
- Integrando ambos os lados de
a , usando :
Com
e
temos:
- Usando
e trocando o sinal dentro do log:
(Esta é a velocidade do foguete como função do tempo.)
Passo 6
Integrar
para obter
. Planejamento: integrar separadamente o termo com log e o termo
.
- Escrevemos
- O segundo integral é imediato:
Passo 7
Calcular o integral com o log usando substituição.
- Denote
para simplificar a notação. - Integramos
- Faça a substituição
. Então ou . Quando , . Quando , . - Assim
- Troque os limites para ficar integral no sentido crescente (troca de sinal):
Passo 8
Resolver a integral
.
- Desenvolva a função integranda:
- Então
- Simplificando:
Passo 9
Aplicar os limites e voltar para a variável
.
- Avaliando a primitiva entre
e :
- No limite superior
a expressão vale . - No limite inferior
a expressão vale . - Portanto
- Lembrando que
vezes essa quantidade:
Passo 10
Montar
usando o resultado do integral e simplificar para a forma pedida.
- Voltando à expressão para
:
- Substituindo
:
- Agora fazemos algumas manipulações algébricas para deixar na forma do enunciado. Observe que
. Substituindo e recolhendo fatores:
- Lembrando que
, isto é exatamente a expressão que queríamos obter.