Considere um foguete que se move em uma trajetória reta, sujeito à ação de uma força externa agindo na direção desta trajetória.
a) Escreva a equação de movimento para este foguete.
b) Considere agora o caso particular no qual o foguete decola verticalmente a partir do repouso, sujeito a um campo gravitacional
constante. Escreva a equação de movimento neste caso. Suponha que o foguete ejeta massa (combustível) a uma taxa constante
, onde
é uma constante positiva, e que a velocidade de ejeção dos gases em relação ao foguete é fixa e igual a
. Encontre a função
.
c) Use sua solução do item (b) e mostre que a altura do foguete como função do tempo pode ser escrita na forma (
é a massa inicial do foguete)
d) Use os dados
, e determine a altura do foguete dois minutos após o lançamento.
a) Escreva a equação de movimento para este foguete.
b) Considere agora o caso particular no qual o foguete decola verticalmente a partir do repouso, sujeito a um campo gravitacional
c) Use sua solução do item (b) e mostre que a altura do foguete como função do tempo pode ser escrita na forma (
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas bem claras; vou listar cada pergunta e as informações dadas:
- (a) Escrever a equação de movimento para um foguete que se move em trajetória reta sujeito a uma força externa na direção do movimento.
- (b) No caso particular de decolagem vertical a partir do repouso, com campo gravitacional constante
, massa do foguete variando segundo (com ) e velocidade de ejeção dos gases em relação ao foguete igual a (constante). Escrever a equação de movimento desse caso e encontrar . - (c) A partir de (b), mostrar que a altura pode ser escrita como
onde é a massa inicial e é a massa no tempo (ou ). - (d) Usar
, , e determinar a altura aos dois minutos do lançamento.
Informações adicionais do enunciado que usaremos:
- Movimento unidimensional (trajectória reta).
- Força externa age ao longo da trajetória (no item (b) é gravidade vertical).
- Taxa de variação de massa
(logo a massa diminui linearmente). - Velocidade dos gases relativos ao foguete é constante
. - Condição inicial para (b): decola do repouso, ou seja
e .
Passo 2
Derivação física e matemática da equação de movimento para um corpo de massa variável (foguete). Vou explicar o raciocínio físico como numa prova: conservar momento linear para o sistema foguete + massa e tratar cuidadosamente o termo que aparece quando a massa muda.
- Considere o foguete com massa
e velocidade numa direção escolhida como positiva (por exemplo, para cima). Em um instante o momento do foguete é . - Em um intervalo pequeno
parte da massa é ejetada com velocidade relativa ao foguete (velocidade dos gases medida no referencial do foguete) igual a se os gases saem para trás (ou seja, se é a velocidade de ejeção em módulo; o sinal depende da convenção). Para fixar a convenção: tomamos como o módulo da velocidade dos gases em relação ao foguete, dirigidos para baixo (opostos à direção positiva do foguete). Assim o vetor velocidade relativa é quando o foguete sobe. - Aplicando conservação de momento (ou, de forma equivalente, Newton para massa variável), o acréscimo de momento do foguete durante
tem duas contribuições: (i) a força externa resultante atuando sobre o foguete, que produz uma variação , e (ii) o efeito do jato de massa que remove momento (ou fornece momento) ao foguete. - Fazendo o limite
(derivada), obtém-se a forma diferencial conhecida (vou escrever a forma padrão e explicar cada termo): Aqui: -
é a massa do foguete, -
é a velocidade do foguete (no referencial inercial escolhido), -
é a força externa resultante na direção do movimento (pode ser positiva ou negativa conforme sentido), -
é a velocidade do gás expelido relativa ao foguete, tomada positiva quando o jato empurra o foguete na direção positiva; é a taxa de variação da massa do foguete (note que para ejeção de massa ).
-
- Explicando o sinal do termo
: se massas são perdidas ( ) e os gases são ejetados no sentido oposto ao movimento de (ou seja, pelo módulo), então é positivo, fornecendo aceleração para o foguete. Esse é o termo responsável pelo empuxo do motor.
Essa é a equação geral de movimento para um corpo de massa variável em uma única dimensão. Em forma alternativa, muitas referências usam
onde
é a velocidade dos gases relativa ao foguete com o sinal apropriado; ambas as formas são equivalentes quando os sinais são tratados consistentemente.
Passo 3
Aplicação ao caso vertical com gravidade e massa variando com
. Determinação de
.
- Escolhe-se eixo vertical para cima como positivo. A força externa é a gravidade para baixo, portanto
- A velocidade de ejeção relativa ao foguete tem módulo
dirigida para baixo (gases saem para baixo). Pela nossa convenção de sinal usada no Passo 2, . A taxa de variação de massa fornecida é logo . - Substituindo na equação geral
obtemos Como , isso fica Portanto a equação diferencial para é - Expressão para a massa em função do tempo (massa inicial
em ): Observação: esta expressão só vale enquanto , isto é, até o combustível acabar; assumimos aqui pequeno o suficiente para . - Reescrevendo a equação dividindo por
: - Agora integramos com a condição inicial
. Separe os termos: Integrando em desde até : Calcule a integral racional (usar substituição , ): Portanto - Substituindo
explicitamente, a solução fica - Interpretação rápida: o primeiro termo é o ganho de velocidade devido ao empuxo (Tsiolkovsky), o segundo termo é a perda de velocidade por gravidade.
Passo 4
Determinação da altura
integrando
e demonstrando a forma pedida.
- A velocidade é
. A altura partindo de é A segunda integral é trivial: - Para a primeira integral, usamos a substituição
, então e . Quando tem-se ; quando tem-se . Assim - Calcule a primitiva
. Escrever . Então - Avaliando de
a : - Logo a integral inicial vale
- Substituindo em
e usando , obtemos Como isso simplifica para - Esta é exatamente a forma pedida (aqui
denota ):
Passo 5
Cálculo numérico da altura aos dois minutos usando os dados fornecidos.
Dados:
- Primeiro observe que a razão
implica , logo . Mas , então . Assim e portanto . - Substituindo este fato na fórmula de
simplifica muito o termo logarítmico: - Então a expressão para a altura torna-se
- Agora substituímos numericamente:
Calcule em etapas:
. Multiplicando por
obtemos
O termo gravitacional é
- Subtraindo,
- Arredondando com sentido prático, a altura aos dois minutos é aproximadamente
, isto é cerca de .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(aprox.
).