Considere um foguete que se move em uma trajetória reta, sujeito à ação de uma força externa agindo na direção desta trajetória.
a) Escreva a equação de movimento para este foguete.
b) Considere agora o caso particular no qual o foguete decola verticalmente a partir do repouso, sujeito a um campo gravitacional g constante. Escreva a equação de movimento neste caso. Suponha que o foguete ejeta massa (combustível) a uma taxa constante \dot{m}=-k, onde k é uma constante positiva, e que a velocidade de ejeção dos gases em relação ao foguete é fixa e igual a v_{e}. Encontre a função v(t).
c) Use sua solução do item (b) e mostre que a altura do foguete como função do tempo pode ser escrita na forma ( m_{0} é a massa inicial do foguete)
y(t)=v_{e} t-\frac{1}{2} g t^{2}-\frac{m v_{e}}{k} \ln \left(\frac{m_{0}}{m}\right) .
d) Use os dados v_{e x}=3000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, m_{0} / m=2, g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e determine a altura do foguete dois minutos após o lançamento.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas bem claras; vou listar cada pergunta e as informações dadas:
  • (a) Escrever a equação de movimento para um foguete que se move em trajetória reta sujeito a uma força externa na direção do movimento.
  • (b) No caso particular de decolagem vertical a partir do repouso, com campo gravitacional constante g, massa do foguete variando segundo \dot{m}=-k (com k>0) e velocidade de ejeção dos gases em relação ao foguete igual a v_{e} (constante). Escrever a equação de movimento desse caso e encontrar v(t).
  • (c) A partir de (b), mostrar que a altura pode ser escrita como y(t)=v_{e} t-\frac{1}{2} g t^{2}-\frac{m v_{e}}{k} \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right),onde m_{0} é a massa inicial e m é a massa no tempo t (ou m(t)).
  • (d) Usar v_{e x}=3000\\ \mathrm{m/s}, m_{0}/m=2, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e determinar a altura aos dois minutos do lançamento.
Informações adicionais do enunciado que usaremos:
  • Movimento unidimensional (trajectória reta).
  • Força externa age ao longo da trajetória (no item (b) é gravidade vertical).
  • Taxa de variação de massa \dot{m}=-k (logo a massa diminui linearmente).
  • Velocidade dos gases relativos ao foguete é constante v_{e}.
  • Condição inicial para (b): decola do repouso, ou seja v(0)=0 e y(0)=0.

Passo 2

Derivação física e matemática da equação de movimento para um corpo de massa variável (foguete). Vou explicar o raciocínio físico como numa prova: conservar momento linear para o sistema foguete + massa e tratar cuidadosamente o termo que aparece quando a massa muda.
  • Considere o foguete com massa m(t) e velocidade v(t) numa direção escolhida como positiva (por exemplo, para cima). Em um instante t o momento do foguete é p(t)=m(t)\,v(t).
  • Em um intervalo pequeno \Delta t parte da massa \Delta m é ejetada com velocidade relativa ao foguete (velocidade dos gases medida no referencial do foguete) igual a -v_{e} se os gases saem para trás (ou seja, se v_{e} é a velocidade de ejeção em módulo; o sinal depende da convenção). Para fixar a convenção: tomamos v_{e}>0 como o módulo da velocidade dos gases em relação ao foguete, dirigidos para baixo (opostos à direção positiva do foguete). Assim o vetor velocidade relativa é -v_{e} quando o foguete sobe.
  • Aplicando conservação de momento (ou, de forma equivalente, Newton para massa variável), o acréscimo de momento do foguete durante \Delta t tem duas contribuições: (i) a força externa resultante F_{\text{ext}} atuando sobre o foguete, que produz uma variação \approx F_{\text{ext}}\Delta t, e (ii) o efeito do jato de massa que remove momento (ou fornece momento) ao foguete.
  • Fazendo o limite \Delta t\to0 (derivada), obtém-se a forma diferencial conhecida (vou escrever a forma padrão e explicar cada termo): m\frac{dv}{dt}=F_{\text{ext}}-v_{\text{rel}}\frac{dm}{dt}.Aqui:
    • m=m(t) é a massa do foguete,
    • v=v(t) é a velocidade do foguete (no referencial inercial escolhido),
    • F_{\text{ext}} é a força externa resultante na direção do movimento (pode ser positiva ou negativa conforme sentido),
    • v_{\text{rel}} é a velocidade do gás expelido relativa ao foguete, tomada positiva quando o jato empurra o foguete na direção positiva; \dfrac{dm}{dt} é a taxa de variação da massa do foguete (note que para ejeção de massa \dfrac{dm}{dt}<0).
  • Explicando o sinal do termo -v_{\text{rel}}\dfrac{dm}{dt}: se massas são perdidas ( \dfrac{dm}{dt}<0) e os gases são ejetados no sentido oposto ao movimento de v (ou seja, v_{\text{rel}}>0 pelo módulo), então -v_{\text{rel}}\dfrac{dm}{dt} é positivo, fornecendo aceleração para o foguete. Esse é o termo responsável pelo empuxo do motor.
Essa é a equação geral de movimento para um corpo de massa variável em uma única dimensão. Em forma alternativa, muitas referências usam
m\frac{dv}{dt}=F_{\text{ext}}+u\dot m,
onde u é a velocidade dos gases relativa ao foguete com o sinal apropriado; ambas as formas são equivalentes quando os sinais são tratados consistentemente.

Passo 3

Aplicação ao caso vertical com gravidade e massa variando com \dot{m}=-k. Determinação de \,v(t).
  • Escolhe-se eixo vertical para cima como positivo. A força externa é a gravidade para baixo, portanto F_{\text{ext}}=-m g.
  • A velocidade de ejeção relativa ao foguete tem módulo v_{e} dirigida para baixo (gases saem para baixo). Pela nossa convenção de sinal usada no Passo 2, v_{\text{rel}}=v_{e}>0. A taxa de variação de massa fornecida é \dot{m}=\frac{dm}{dt}=-k,\qquad k>0,logo \dfrac{dm}{dt}<0.
  • Substituindo na equação geral m\dfrac{dv}{dt}=F_{\text{ext}}-v_{\text{rel}}\dfrac{dm}{dt} obtemos m\frac{dv}{dt}=-m g - v_{e}\dot{m}.Como \dot{m}=-k, isso fica m\frac{dv}{dt}=-m g - v_{e}(-k)= -m g + v_{e}k.Portanto a equação diferencial para v(t) é \boxed{\;m(t)\,\frac{dv}{dt}=\;v_{e}k - m(t)\,g\; }.
  • Expressão para a massa em função do tempo (massa inicial m_{0} em t=0): m(t)=m_{0}-k t.Observação: esta expressão só vale enquanto m(t)>0, isto é, até o combustível acabar; assumimos aqui t pequeno o suficiente para m(t)>0.
  • Reescrevendo a equação dividindo por m(t): \frac{dv}{dt}=\frac{v_{e}k}{m_{0}-k t}-g.
  • Agora integramos com a condição inicial v(0)=0. Separe os termos: \frac{dv}{dt}+g=\frac{v_{e}k}{m_{0}-k t}.Integrando em t desde 0 até t: v(t)=\int_{0}^{t}\frac{v_{e}k}{m_{0}-k s}\,ds - \int_{0}^{t} g\,ds.Calcule a integral racional (usar substituição u=m_{0}-k s, du=-k ds): \int_{0}^{t}\frac{v_{e}k}{m_{0}-k s}\,ds =v_{e}\int_{0}^{t}\frac{k}{m_{0}-k s}\,ds =-v_{e}\int_{m_{0}}^{m(t)}\frac{1}{u}\,du =-v_{e}\big[\ln u\big]_{m_{0}}^{m(t)} =-v_{e}\ln\!\big(m(t)\big)+v_{e}\ln\!\big(m_{0}\big).Portanto v(t)=v_{e}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(t)}\right)-g t.
  • Substituindo m(t)=m_{0}-k t explicitamente, a solução fica \boxed{\;v(t)=v_{e}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-k t}\right)-g t\; }.
  • Interpretação rápida: o primeiro termo é o ganho de velocidade devido ao empuxo (Tsiolkovsky), o segundo termo é a perda de velocidade por gravidade.

Passo 4

Determinação da altura y(t) integrando v(t) e demonstrando a forma pedida.
  • A velocidade é v(t)=v_{e}\ln\!\big(\dfrac{m_{0}}{m(t)}\big)-g t. A altura partindo de y(0)=0 é y(t)=\int_{0}^{t} v(s)\,ds =\int_{0}^{t} v_{e}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(s)}\right) ds - \int_{0}^{t} g s\,ds.A segunda integral é trivial: \int_{0}^{t} g s\,ds=\frac{1}{2}g t^{2}.
  • Para a primeira integral, usamos a substituição m=m(s)=m_{0}-k s, então dm=-k\,ds e ds=-\dfrac{dm}{k}. Quando s=0 tem-se m=m_{0}; quando s=t tem-se m=m(t). Assim \int_{0}^{t} \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(s)}\right)\,ds =\int_{m_{0}}^{m(t)} \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)\left(-\frac{dm}{k}\right) =\frac{1}{k}\int_{m(t)}^{m_{0}} \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)\,dm.
  • Calcule a primitiva \displaystyle\int \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)\,dm. Escrever \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)=\ln m_{0}-\ln m. Então \int \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)\,dm =\int(\ln m_{0}-\ln m)\,dm =m\ln m_{0}-(m\ln m - m) =m\big(\ln m_{0}-\ln m+1\big).
  • Avaliando de m(t) a m_{0}: \int_{m(t)}^{m_{0}} \ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)\,dm = m_{0}\big(\ln m_{0}-\ln m_{0}+1\big) - m(t)\big(\ln m_{0}-\ln m(t)+1\big) = m_{0} - m(t)\big(1+\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(t)}\right)\big).
  • Logo a integral inicial vale \int_{0}^{t} v_{e}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(s)}\right)\,ds =\frac{v_{e}}{k}\Big[\,m_{0}-m(t)\big(1+\ln\!\left(\tfrac{m_{0}}{m(t)}\right)\big)\Big].
  • Substituindo em y(t) e usando m_{0}-m(t)=k t, obtemos y(t)=\frac{v_{e}}{k}\big(m_{0}-m(t)\big)-\frac{v_{e} m(t)}{k}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(t)}\right)-\frac{1}{2}g t^{2}.Como m_{0}-m(t)=k t isso simplifica para y(t)=v_{e} t-\frac{1}{2}g t^{2}-\frac{v_{e} m(t)}{k}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(t)}\right).
  • Esta é exatamente a forma pedida (aqui m denota m(t)): \boxed{\;y(t)=v_{e} t-\frac{1}{2} g t^{2}-\frac{m(t)\,v_{e}}{k}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(t)}\right)\; }.

Passo 5

Cálculo numérico da altura aos dois minutos usando os dados fornecidos.
Dados:
v_{e}=3000\\ \mathrm{m/s},\qquad \frac{m_{0}}{m}=2,\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad t=2\\ \text{min}=120\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro observe que a razão m_{0}/m=2 implica m_{0}=2m, logo m_{0}-m=m. Mas m_{0}-m=k t, então k t=m. Assim k=\dfrac{m}{t} e portanto \dfrac{m}{k}=t.
  • Substituindo este fato na fórmula de y(t) simplifica muito o termo logarítmico: \frac{m\,v_{e}}{k}\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m}\right)=t\,v_{e}\ln 2.
  • Então a expressão para a altura torna-se y(t)=v_{e}t-\frac{1}{2}g t^{2}-v_{e}t\ln 2 =v_{e}t(1-\ln 2)-\frac{1}{2}g t^{2}.
  • Agora substituímos numericamente: \ln 2\approx 0{,}693147,
v_{e}t(1-\ln 2)=3000\times 120\times(1-0{,}693147) =3000\times 120\times 0{,}306853.
Calcule em etapas: 120\times 0{,}306853\approx 36{,}82236. Multiplicando por 3000 obtemos
v_{e}t(1-\ln 2)\approx 3000\times 36{,}82236\approx 110467{,}08\\ \mathrm{m}.
O termo gravitacional é
\frac{1}{2}g t^{2}=\frac{1}{2}\times 9{,}8\times (120)^{2}=4{,}9\times 14400=70560\\ \mathrm{m}.
  • Subtraindo, y(120\\ \mathrm{s})\approx 110467{,}08 - 70560 = 39907{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando com sentido prático, a altura aos dois minutos é aproximadamente 3{,}99\times 10^{4}\\ \mathrm{m}, isto é cerca de 39{,}9\\ \mathrm{km}.

Resposta

(a) \;m\displaystyle\frac{dv}{dt}=F_{\text{ext}}-v_{\text{rel}}\displaystyle\frac{dm}{dt}.
(b) \;m(t)\displaystyle\frac{dv}{dt}=v_{e}k-m(t)g\quad\Rightarrow\quad v(t)=v_{e}\displaystyle\ln\!\left(\dfrac{m_{0}}{m_{0}-k t}\right)-g t.
(c) \;y(t)=v_{e} t-\dfrac{1}{2} g t^{2}-\dfrac{m(t)\,v_{e}}{k}\displaystyle\ln\!\left(\dfrac{m_{0}}{m(t)}\right).
(d) \;y(120\\ \mathrm{s})\approx 3{,}99\times 10^{4}\\ \mathrm{m} (aprox. 39{,}9\\ \mathrm{km}).

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