Exercício 1) Suponha que a força externa é dada por
.
Mostre que a solução estacionária nesse caso é
Faça esse exercício duas vezes, conforme a sugestão a seguir.
Exercício 1 a) Inicialmente usando variáveis reais, suponha que a solução demandada seja da forma
. Daí use o método dos coeficientes à determinar para calcular as constantes
e
.
Exercício 1 b) Agora, usando variáveis complexas, ou seja,
. A partir da Fórmula de Euler, observe que
. Daí, suponha que a solução requerida seja da forma
. Calcule a constante
pelo método do coeficiente à determinar. Lembre-se de que, nesse caso, a solução pedida é simplesmente a parte real
da solução complexa
obtida.
Mostre que a solução estacionária nesse caso é
Exercício 1 a) Inicialmente usando variáveis reais, suponha que a solução demandada seja da forma
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido e organizado):
- Força externa dada:
. - Considera-se o oscilador linear amortecido com massa
, coeficiente de amortecimento e constante elástica . A equação de movimento (assumida) é
- Define-se a frequência natural por
via
- O objetivo: mostrar que a solução estacionária (solução particular permanente, sem transientes) é
- Observação: a solução estacionária deve ter a mesma frequência da força
; portanto procuraremos uma solução forçada com combinações de e .
Passo 2
Método real (1ª alternativa): escolha do ansatz e porquê.
Explicação didática: o método dos coeficientes a determinar diz que, se a força é senoidal com frequência , uma solução particular com a mesma frequência, misturando cosseno e seno, é suficiente. Assim supomos
Explicação didática: o método dos coeficientes a determinar diz que, se a força é senoidal com frequência
onde
e
são constantes a determinar. Vamos calcular
e
para esse
.
Cálculo das derivadas (mostrando passo a passo):
Passo 3
Substituição na equação diferencial e agrupamento por cosseno e seno.
Substituindo ,
e
em
Substituindo
obtém-se, agrupando os coeficientes de
e de
,
Como
e
são linearmente independentes, igualamos coeficientes:
Passo 4
Transformação usando
e organização das equações.
Multiplicando convenientemente e isolando termos, defina
Multiplicando convenientemente e isolando termos, defina
As duas equações ficam:
Passo 5
Resolução do sistema linear para
e
(passo a passo).
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Colocando em evidência
e multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Logo
Voltando
:
Para
, usar
:
Novamente substituindo
e simplificando:
Passo 6
Escrevendo a solução estacionária (resultado do método real).
Substituindo e
em
, obtemos exatamente
Substituindo
Passo 7
Método complexo (2ª alternativa): ideia e preparação.
Explicação didática curta: é frequentemente mais rápido tratar forçantes senoidais como a parte real de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler . Assim escrevemos a força como a parte real de
e procuramos uma solução complexa
tal que sua parte real seja
.
Explicação didática curta: é frequentemente mais rápido tratar forçantes senoidais como a parte real de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler
Postular
com constante complexa
a determinar. A equação complexa correspondente é
Passo 8
Cálculo de
pelo método do coeficiente a determinar (passo a passo).
Derivando :
Derivando
Substituindo na equação:
Cancelando
(não zero), obtém-se
Usando
e definindo
como antes:
Passo 9
Recuperando a parte real e mostrando que resulta na mesma expressão.
Escrever como
com
Escrever
Então
Multiplicando e tomando a parte real (explicando: a parte real de
é
), obtemos
Substituindo
e
dá:
o que, usando
, reproduz exatamente a forma obtida no método real. Portanto os dois métodos concordam.