Exercício 1) Suponha que a força externa é dada por F(t)=F_{0} \cdot \cos (\gamma t+\varphi).
Mostre que a solução estacionária nesse caso é
x_{\mathrm{est}}(t)=\frac{F_{0}\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2} \gamma^{2}}{m^{2}}\right]} \cdot \cos (\gamma t+\varphi)+\frac{b \gamma F_{0}}{m^{2}\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2} \gamma^{2}}{m^{2}}\right]} \cdot \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)
Faça esse exercício duas vezes, conforme a sugestão a seguir.
Exercício 1 a) Inicialmente usando variáveis reais, suponha que a solução demandada seja da forma x_{\text {est }}(t)=A \cdot \cos (\gamma t+\varphi)+B \cdot \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi). Daí use o método dos coeficientes à determinar para calcular as constantes A e B.
Exercício 1 b) Agora, usando variáveis complexas, ou seja, z_{\text {est }}(t)=x_{\text {est }}(t)+i y_{\text {est }}(t). A partir da Fórmula de Euler, observe que F_{0} \cdot \cos (\gamma t+\varphi)+i F_{0} \cdot \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)=F_{0} \cdot e^{i(\gamma t+\varphi)}. Daí, suponha que a solução requerida seja da forma z_{\text {est }}(t)=M \cdot F_{0} \cdot e^{i(\gamma t+\varphi)}. Calcule a constante M pelo método do coeficiente à determinar. Lembre-se de que, nesse caso, a solução pedida é simplesmente a parte real x_{\text {est }}(t) da solução complexa z_{\text {est }}(t) obtida.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e organizado):
  • Força externa dada: F(t)=F_{0}\cdot\cos(\gamma t+\varphi).
  • Considera-se o oscilador linear amortecido com massa m, coeficiente de amortecimento b e constante elástica k. A equação de movimento (assumida) é
m\,x''(t)+b\,x'(t)+k\,x(t)=F_{0}\cdot\cos(\gamma t+\varphi).
  • Define-se a frequência natural por \omega_{0} via
\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}.
  • O objetivo: mostrar que a solução estacionária (solução particular permanente, sem transientes) é
x_{\mathrm{est}}(t)=\frac{F_{0}\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\right]}\cdot\cos(\gamma t+\varphi) +\frac{b\gamma F_{0}}{m^{2}\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\right]}\cdot\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi).
  • Observação: a solução estacionária deve ter a mesma frequência da força \gamma; portanto procuraremos uma solução forçada com combinações de \cos(\gamma t+\varphi) e \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi).

Passo 2

Método real (1ª alternativa): escolha do ansatz e porquê.
Explicação didática: o método dos coeficientes a determinar diz que, se a força é senoidal com frequência \gamma, uma solução particular com a mesma frequência, misturando cosseno e seno, é suficiente. Assim supomos
x_{\mathrm{est}}(t)=A\cdot\cos(\gamma t+\varphi)+B\cdot\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi),
onde A e B são constantes a determinar. Vamos calcular x' e x'' para esse x_{\mathrm{est}}.
Cálculo das derivadas (mostrando passo a passo):
x_{\mathrm{est}}'(t) = -A\gamma\cdot\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)+B\gamma\cdot\cos(\gamma t+\varphi),
x_{\mathrm{est}}''(t) = -A\gamma^{2}\cdot\cos(\gamma t+\varphi)-B\gamma^{2}\cdot\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi).

Passo 3

Substituição na equação diferencial e agrupamento por cosseno e seno.
Substituindo \,x_{\mathrm{est}}, x_{\mathrm{est}}' e x_{\mathrm{est}}'' em
m x''+b x'+k x = F_{0}\cos(\gamma t+\varphi),
obtém-se, agrupando os coeficientes de \cos(\gamma t+\varphi) e de \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi),
\Bigl(-mA\gamma^{2}+bB\gamma+kA\Bigr)\cos(\gamma t+\varphi) +\Bigl(-mB\gamma^{2}-bA\gamma+kB\Bigr)\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi) =F_{0}\cos(\gamma t+\varphi).
Como \cos(\gamma t+\varphi) e \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi) são linearmente independentes, igualamos coeficientes:
\begin{cases} -mA\gamma^{2}+bB\gamma+kA=F_{0},\\[4pt] -mB\gamma^{2}-bA\gamma+kB=0. \end{cases}]

Passo 4

Transformação usando \omega_{0}^{2}=k/m e organização das equações.
Multiplicando convenientemente e isolando termos, defina
D:=m\bigl(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\bigr)=k-m\gamma^{2}.
As duas equações ficam:
\begin{cases} A\,D + b\gamma\,B = F_{0},\\[4pt] B\,D - b\gamma\,A = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolução do sistema linear para A e B (passo a passo).
Da segunda equação:
B\,D = b\gamma\,A \quad\Rightarrow\quad B=\frac{b\gamma\,A}{D}.
Substituindo na primeira:
A\,D + b\gamma\cdot\frac{b\gamma\,A}{D}=F_{0}.
Colocando em evidência A e multiplicando ambos os lados por D para eliminar a fração:
A\bigl(D^{2}+b^{2}\gamma^{2}\bigr)=F_{0}\,D.
Logo
A=\frac{F_{0}\,D}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}}.
Voltando D=m(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}):
A=\frac{F_{0}\,m(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})}{m^{2}(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+b^{2}\gamma^{2}} =\frac{F_{0}\,(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})}{m\bigl[(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+\dfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\bigr]}.
Para B, usar B=\dfrac{b\gamma\,A}{D}:
B=\frac{b\gamma}{D}\cdot\frac{F_{0}\,D}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}} =\frac{b\gamma\,F_{0}}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}}.
Novamente substituindo D e simplificando:
B=\frac{b\gamma\,F_{0}}{m^{2}(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+b^{2}\gamma^{2}} =\frac{b\gamma\,F_{0}}{m^{2}\bigl[(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+\dfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\bigr]}.

Passo 6

Escrevendo a solução estacionária (resultado do método real).
Substituindo A e B em x_{\mathrm{est}}(t)=A\cos(\gamma t+\varphi)+B\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi), obtemos exatamente
x_{\mathrm{est}}(t)=\frac{F_{0}\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\dfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\right]}\cdot\cos(\gamma t+\varphi) +\frac{b\gamma F_{0}}{m^{2}\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\dfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\right]}\cdot\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi).

Passo 7

Método complexo (2ª alternativa): ideia e preparação.
Explicação didática curta: é frequentemente mais rápido tratar forçantes senoidais como a parte real de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler \,e^{i\theta}=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta. Assim escrevemos a força como a parte real de F_{0}e^{i(\gamma t+\varphi)} e procuramos uma solução complexa z_{\mathrm{est}}(t) tal que sua parte real seja x_{\mathrm{est}}(t).
Postular
z_{\mathrm{est}}(t)=M\cdot F_{0}\,e^{i(\gamma t+\varphi)},
com constante complexa M a determinar. A equação complexa correspondente é
m z''+b z'+k z = F_{0} e^{i(\gamma t+\varphi)}.

Passo 8

Cálculo de M pelo método do coeficiente a determinar (passo a passo).
Derivando z_{\mathrm{est}}:
z_{\mathrm{est}}'(t)=i\gamma M F_{0} e^{i(\gamma t+\varphi)},\qquad z_{\mathrm{est}}''(t)=-\gamma^{2} M F_{0} e^{i(\gamma t+\varphi)}.
Substituindo na equação:
\bigl(-m\gamma^{2}+i b\gamma + k\bigr)M F_{0} e^{i(\gamma t+\varphi)} = F_{0} e^{i(\gamma t+\varphi)}.
Cancelando F_{0} e^{i(\gamma t+\varphi)} (não zero), obtém-se
M=\frac{1}{k-m\gamma^{2}+i b\gamma} .
Usando k=m\omega_{0}^{2} e definindo D=m(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}) como antes:
M=\frac{1}{D+i b\gamma}=\frac{D-i b\gamma}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}}.

Passo 9

Recuperando a parte real e mostrando que resulta na mesma expressão.
Escrever M como M=a+i c com
a=\frac{D}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}},\qquad c=-\frac{b\gamma}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}}.
Então
z_{\mathrm{est}}(t)=F_{0}(a+i c)\bigl(\cos(\gamma t+\varphi)+i\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)\bigr).
Multiplicando e tomando a parte real (explicando: a parte real de (a+i c)(\cos+i\operatorname{sen}) é a\cos - c\operatorname{sen}), obtemos
x_{\mathrm{est}}(t)=F_{0}\left(a\cos(\gamma t+\varphi)-c\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)\right).
Substituindo a e c dá:
x_{\mathrm{est}}(t)=\frac{F_{0}D}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}}\cos(\gamma t+\varphi) +\frac{F_{0}b\gamma}{D^{2}+b^{2}\gamma^{2}}\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi),
o que, usando D=m(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}), reproduz exatamente a forma obtida no método real. Portanto os dois métodos concordam.

Resposta

x_{\mathrm{est}}(t)=\frac{F_{0}\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\dfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\right]}\cdot\cos(\gamma t+\varphi) +\frac{b\gamma F_{0}}{m^{2}\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\dfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\right]}\cdot\operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)

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