Duas placas condutores paralelas acham-se separadas pela distância d e mantidas a uma diferença de potencial De<a varphi. Uma chapa de dielétrico com permissividade elétrica varepsilonr e de espessura uniforme t<d, é inserida entre as chapas. Determine os vetores de campo E e D no dielétrico e também no vácuo entre o dielétrico e uma placa. Despreze os efeitos das extremidades em virtude das dimensões finitas das placas.

Passo 1

O problema é um capacitor de placas paralelas separadas por distância d, com diferença de potencial De<a varphi. Entre as placas foi inserida uma placa dielétrica de espessura t<d e permissividade relativa varepsilonr, encostando-se numa das placas de modo que sobra uma região de vácuo de espessura d-t até a outra placa. Queremos encontrar os campos elétricos vec E e de deslocamento elétrico vec D em cada região. Vamos usar:
  • a Lei de Gauss para vec D,
  • as relações constitutivas vec D=varepsilon0vec E no vácuo e vec D=varepsilon0varepsilonrvec E no dielétrico,
  • e a soma das quedas de potencial em série.

Passo 2

Como as placas são grandes e afastadas pouco, desprezamos bordas e assumimos campos uniformes e normais às placas. Seja hat n o versor que aponta da placa negativa para a placa positiva. Pela Lei de Gauss para vec D temos
oint vec Dcdot dvec a = Qlivre
e, em regime estacionário, vec D é constante e normal, de modo que
vec D = D,hat n,
onde D é o módulo constante de vec D.

Passo 3

Nas duas regiões valem as leis constitutivas lineares:
vec D = varepsilon0,vec E (vácuo), vec D = varepsilon0,varepsilonr,vec E (dielétrico) áé
Logo, os módulos dos campos satisfazem
Evac = Dvarepsilon0, Edie = Dvarepsilon0,varepsilonr

Passo 4

A diferença de potencial total De<a varphi é a soma das quedas em cada região:
De<a varphi =integralvácuo !Evac,dl +integraldie !Edie,dl =Evac,(d-t)+Edie,t á
Substituindo Evac e Edie em função de D,
De<a varphi = Dvarepsilon0,(d-t) + Dvarepsilon0varepsilonr,t = Dvarepsilon0l[(d-t)+tvarepsilonrr]

Passo 5

Isolando D,
D = varepsilon0,De<a varphi (d-t)+tfractvarepsilonr

Passo 6

Daí os campos ficam:
vec D = varepsilon0,De<a varphi (d-t)+tfractvarepsilonr,hat n,
vec Evac = vec Dvarepsilon0 = De<a varphi (d-t)+tfractvarepsilonr,hat n,
vec Edie = vec Dvarepsilon0,varepsilonr = De<a varphi varepsilonr(d-t)+t,hat n = 1varepsilonr, De<a varphi (d-t)+tfractvarepsilonr,hat n
Note que vec E aponta da placa positiva para a negativa, ou seja, vec E=-E,hat n se definirmos hat n de negativo para positivo, enquanto vec D aponta de negativo para positivo.

Resposta

boxed vec D = varepsilon0,De<a varphi (d-t)+tfractvarepsilonr,hat n, boxed vec Evac = De<a varphi (d-t)+tfractvarepsilonr,hat n, boxed vec Edie = De<a varphi varepsilonr(d-t)+t,hat n

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