Considerando o capacitor esférico descrito na questão 1:
a) Determine a densidade de energia, uE, na região interna do capacitor, ou seja, r < R1 e R1 <r<R 2, onde a distância r tem origem no centro da esfera.
b) Faça um gráfico u em função de r.
c) Considerando R2 infty, calcule a energia total do sistema, U, integrando em todo o espaço

Passo 1

O enunciado fala de um capacitor esférico formado por duas cascas concêntricas de raios R1 (interna) e R2 (externa), com carga +Q na casca interna e -Q na externa. O objetivo é usar o conceito de densidade de energia no campo elétrico,
uE = varepsilon0 E^22,
para:
a) determinar uE em cada região ( r<R1 e R1<r<R2);
b) esboçar uE(r);
c) tomando R2toinfty, calcular a energia total
U = integraltodo espaço uE,dV ç

Passo 2

Primeiro achamos o campo elétrico E(r) em cada região usando a lei de Gauss.
  • Para r<R1, estamos no interior de um condutor, logo
E(r)=0
  • Para R1<r<R2, a carga encerrada é +Q, então
E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2

Passo 3

Agora aplicamos
uE(r)=varepsilon02,E^2(r)
  • Se r<R1, então E=0 e
uE(r)=0
  • Se R1<r<R2, substituindo
E^2(r)=Q^216pi^2varepsilon0^2,r^4
vem
uE(r) =varepsilon02,Q^216pi^2varepsilon0^2,r^4 =Q^232pi^2varepsilon0,r^4

Passo 4

O gráfico de uE em função de r é:
  • nulo para r<R1,
  • decai como 1/r^4 entre R1 e R2,
  • (e volta a zero para r>R2, pois o campo fora do conjunto de cargas também é zero).
Esboço qualitativo:
c uE [2pt] uparrow [2pt] a<a propto 1/R1^4 longrightarrow downarrow decaindo 1/r^4 longrightarrow 0 r=R1 r=R2 ]

Passo 5

Para R2toinfty, o campo é nulo para r<R1 e vale dfracQ4pivarepsilon0,r^2 para r>R1. A energia total é
U=integralR1^inftyuE(r),4pi r^2,dr =integralR1^inftyvarepsilon02,E^2(r),4pi r^2,dr
Substituindo E^2:
U =varepsilon02,4pi integralR1^inftyQ^216pi^2varepsilon0^2,r^4,r^2,dr =Q^28pivarepsilon0 integralR1^infty1r^2,dr =Q^28pivarepsilon0g[-1rg]R1^infty =Q^28pivarepsilon0,R1

Resposta

a)
uE(r)= 0, & r<R1,[6pt] dfracQ^232pi^2varepsilon0,r^4, & R1<r<R2
b) uE(r)=0 até r=R1, salta a um valor finito em r=R1 e depois decai como 1/r^4 até r=R2, voltando a zero para r>R2.
c) Para R2toinfty,
U=Q^28pivarepsilon0,R1
]

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