3- Uma esfera metálica sem carga de raio R é colocada em um campo elétrico inicialmente uniforme E=E z. Isso induz uma separação de cargas na esfera (positiva no “norte” e negativa no “sul”), alterando o campo ao redor. Encontre o potencial na região externa da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora metálica neutra de raio R imersa num campo elétrico uniforme E=E,ez. Estamos no tópico de potenciais eletrostáticos e precisamos resolver a equação de Laplace na região externa à esfera, usando expansão em harmônicos esféricos e impondo as condições de contorno: (i) phito -E,rcostheta quando rtoinfty e (ii) phi constante em r=R (potencial da esfera).

Passo 2

Escrevemos a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal (dependência apenas de theta):
phi(r,theta) =sumn=0^inftyl(An,r^n + Bn,r^-(n+1)r)Pn(costheta),
onde Pn são os polinômios de Legendre. Como o campo externo é uniforme (termo proporcional a costheta), só o termo n=1 aparece não nulo.

Passo 3

Retendo apenas n=1 e usando P1(costheta)=costheta, a forma externa torna-se
phi(r,theta) =l(A1,r + B1,r^-2r)costheta
Em rtoinfty deve-se recuperar phito -E,rcostheta, logo
A1=-E

Passo 4

Na superfície condutora r=R, o potencial é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (referência), impondo
phi(R,theta)=l(-E,R + B1,R^-2r)costheta = 0 forall,theta
Daí obtemos
-B1,R^-2 + E,R = 0 Rightarrow B1 = E,R^3

Passo 5

Substituindo A1 e B1 na expressão de phi(r,theta), concluímos que o potencial na região externa ( r>= R) é
phi(r,theta) =l(-E,r + E,R^3r^2r)costheta =-El(r - R^3r^2r)costheta

Resposta

boxed phi(r,theta) =-El(r - tfracR^3r^2r)costheta, r>= R

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