3- Uma esfera metálica sem carga de raio
é colocada em um campo elétrico inicialmente uniforme E=E z. Isso induz uma separação de cargas na esfera (positiva no “norte” e negativa no “sul”), alterando o campo ao redor. Encontre o potencial na região externa da esfera.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera condutora metálica neutra de raio
imersa num campo elétrico uniforme
. Estamos no tópico de potenciais eletrostáticos e precisamos resolver a equação de Laplace na região externa à esfera, usando expansão em harmônicos esféricos e impondo as condições de contorno: (i)
quando
e (ii)
constante em
(potencial da esfera).
Passo 2
Escrevemos a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal (dependência apenas de
):
onde
são os polinômios de Legendre. Como o campo externo é uniforme (termo proporcional a
), só o termo
aparece não nulo.
Passo 3
Retendo apenas
e usando
, a forma externa torna-se
Em
deve-se recuperar
, logo
Passo 4
Na superfície condutora
, o potencial é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (referência), impondo
Daí obtemos
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, concluímos que o potencial na região externa (
) é