1.6 Duas placas grandes, uma a 50^{\circ} \mathrm{C} e a outra a 200^{\circ} \mathrm{C}, estão separadas por 8 cm . Se o espaço entre elas for preenchido com lā de pedra frouxa, cuja condutividade térmica é de 0,08 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), calcule a taxa de transferência de calor através das placas por 1 \mathrm{~m}^{2} de área.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Temperatura de uma placa: 50^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da outra placa: 200^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura do material entre as placas: 8\\ \mathrm{cm}.
  • Condutividade térmica do material (pedra frouxa): k = 0,08\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • Área considerada: A = 1\\ \mathrm{m}^2.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a taxa de transferência de calor (fluxo térmico) através das placas por 1\\ \mathrm{m}^2 de área.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
  • Para condução de calor unidimensional e em regime estacionário numa lâmina plana homogênea vale a lei de Fourier. Em forma diferencial:
\dot{Q} = -k A \frac{dT}{dx},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência térmica) em \mathrm{W};
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C});
  • A é a área atravessada pelo fluxo em \mathrm{m}^2;
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura (variação de temperatura por unidade de comprimento) em ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
  • Intuição: k mede “quanto o material deixa passar calor”; maior k → mais calor. O sinal negativo indica que o calor vai da região mais quente para a mais fria; para o valor absoluto (magnitude) podemos usar a diferença de temperatura positiva entre as placas.

Passo 3

Simplificação para caso de gradiente linear (placas grandes, material homogêneo, regime estacionário):
  • Se o gradiente é aproximadamente linear entre as placas, substitui-se \dfrac{dT}{dx} por \dfrac{\Delta T}{L}, onde:
    • \Delta T = T_{\text{quente}} - T_{\text{fria}} (em ^\circ\mathrm{C});
    • L é a distância entre as placas (espessura do material) em \mathrm{m}.
  • Assim a fórmula para a magnitude do fluxo térmico é:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L}.

Passo 4

Converter unidades e calcular a diferença de temperatura:
  • Converter 8\\ \mathrm{cm} para metros:
L = 8\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \Delta T:
\Delta T = 200^\circ\mathrm{C} - 50^\circ\mathrm{C} = 150^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L} = 0,08\cdot 1 \cdot \frac{150}{0,08}.
Avaliação intermediária:
0,08\cdot 150 = 12,
então
\dot{Q} = \frac{12}{0,08} = 150.

Passo 6

Verificação de unidades e interpretação final:
  • Unidades: \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}}\times\mathrm{m}^2\times\frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{m}} = \mathrm{W}. Está consistente.
  • Resultado: a taxa de transferência de calor através de 1\\ \mathrm{m}^2 é \,150\\ \mathrm{W}.
  • Sentido do fluxo: do lado a 200^\circ\mathrm{C} para o lado a 50^\circ\mathrm{C}.
  • Comentário amigo: deu uma conta bem simples — o fato de k aparecer no numerador e denominador fez cancelar e resultou em um número fácil. Vai com fé na prova!

Resposta

150\\ \mathrm{W}

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