1.8 Uma parede de concreto, com 25 cm de espessura, tem uma área superficial de 40 \mathrm{~m}^{2}. A superfície interna da parede está a 20^{\circ} \mathrm{C} e a externa, a -10^{\circ} \mathrm{C}. Determine a taxa de perda de calor através da parede se a condutividade térmica for de 0,75 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
Resposta: 3,6 \mathrm{~kW} ou kJ/s.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pedido: determinar a taxa de perda de calor através da parede (isto é, a potência térmica que atravessa a parede), em \mathrm{W} (ou \mathrm{kW}).
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da parede: 25\\ \mathrm{cm}.
    • Área da superfície: 40\\ \mathrm{m}^{2}.
    • Temperatura interna (face quente): 20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura externa (face fria): -10^\circ\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica do concreto: 0,75\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
Observação importante: a espessura está em centímetros; para usar fórmulas no SI precisamos converter para metros. A diferença de temperatura será a temperatura interna menos a externa.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
A transferência de calor por condução em regime estacionário através de uma parede plana, homogênea e com fluxo unidimensional é descrita pela lei de Fourier, que na forma conveniente para uma placa plana dá:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{T_{\text{in}}-T_{\text{out}}}{L},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência térmica) em \mathrm{W} (que é \mathrm{J/s});
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C});
  • A é a área através da qual o calor é transferido em \mathrm{m}^2;
  • T_{\text{in}} é a temperatura da face interna em ^\circ\mathrm{C};
  • T_{\text{out}} é a temperatura da face externa em ^\circ\mathrm{C};
  • L é a espessura da parede em \mathrm{m}.
Por que essa fórmula funciona (intuição simples): a lei de Fourier diz que o fluxo de calor por área é proporcional ao gradiente de temperatura; para temperatura variando linearmente entre as faces (regime estacionário, material homogêneo), o gradiente é (T_{\text{in}}-T_{\text{out}})/L. Multiplicando o fluxo pela área obtém-se a potência total.

Passo 3

Aplicando ao problema: primeiro ajustar unidades e calcular a diferença de temperatura.
  • Converter espessura: 25\\ \mathrm{cm} = 0,25\\ \mathrm{m}. Escrevendo em TeX: L = 0,25\\ \mathrm{m}.
  • Área: A = 40\\ \mathrm{m}^2.
  • Condutividade: k = 0,75\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{\text{in}}-T_{\text{out}} = 20^\circ\mathrm{C}-(-10^\circ\mathrm{C})=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Colocar tudo na fórmula e calcular passo a passo.
Usando
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L},
substituímos os valores:
\dot{Q} = 0,75\cdot 40\cdot \frac{30}{0,25}\\ \mathrm{W}.
Fazendo as operações com calma:
  • Primeiro 0,75\cdot 40 = 30.
  • Então 30\cdot 30 = 900.
  • Finalmente \dfrac{900}{0,25} = 900\cdot 4 = 3600.
Portanto
\dot{Q} = 3600\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação do resultado e unidades (motivação e checagem rápida).
  • 3600\\ \mathrm{W} é igual a 3,6\\ \mathrm{kW} porque 1\\ \mathrm{kW}=1000\\ \mathrm{W}.
  • Também é comum dizer 3600\\ \mathrm{W}=3600\\ \mathrm{kJ/s} mas mais usual é 3,6\\ \mathrm{kW} ou 3,6\\ \mathrm{kJ/s} (note que 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}, então 3600\\ \mathrm{W}=3600\\ \mathrm{J/s}=3,6\\ \mathrm{kJ/s}).
  • Checagem de unidade: \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})\times\mathrm{m}^2\times{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}=\mathrm{W} — unidades consistentes.
Força final de incentivo: deu trabalho, mas seguindo a fórmula com calma e checando unidades a coisa fica tranquila — tá pronto pra prova!

Resposta

3,6\\ \mathrm{kW}

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