Duas placas infinitas são carregadas eletricamente com cargas opostas e estão dispostas paralelamente separadas por uma distância d. Sabendo que a densidade superficial de cargas das placas é \sigma, calcule o campo elétrico entre as placas e acima/abaixo delas.
Resposta: Acima e abaixo \mathrm{E}=0; entre as placas =\sigma / \varepsilon_{0}

Passo 1

O enunciado dá duas placas infinitas paralelas, separadas por uma distância d, com densidade superficial de carga \sigma e cargas opostas (uma placa tem +\sigma e a outra -\sigma). A tarefa é calcular o campo elétrico:
  • entre as placas;
  • acima (fora, de um lado) e abaixo (fora, do outro lado) das placas.
Informações importantes fornecidas:
  • densidade superficial de carga: \sigma (unidades: \mathrm{C/m^2});
  • separação das placas: d (não precisa de valor numérico);
  • placas assumidas infinitas (isso implica que o campo de cada placa é uniforme e independe da distância);
  • as placas têm cargas opostas (uma positiva e outra negativa).

Passo 2

Lembra do teorema que vamos usar: Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dividido por \varepsilon_0. Em fórmula, para uma superfície fechada qualquer,
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \Phi é o fluxo, \mathbf{E} o campo elétrico (vetor), d\mathbf{A} o vetor de área da superfície, Q_{\text{int}} a carga encerrada e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo. Vou usar isso para obter o campo de uma placa infinita uniforme (passo seguinte).

Passo 3

Campo de uma única placa infinita com densidade superficial \sigma — derivação por Gauss (essa é uma fórmula padrão que é útil):
  • Escolhe-se uma superfície de Gauss do tipo “pilha de disco” (um cilindro curto, conhecido como pillbox) com área da face igual a A, com as duas faces paralelas à placa, uma de cada lado.
  • Pelo simetria, o campo é perpendicular à placa e tem mesmo módulo nas duas faces. Então o fluxo total pelo cilindro é E A + E A = 2 E A, onde E é o módulo do campo fora da placa.
  • A carga encerrada é a carga na área A: Q_{\text{int}} = \sigma A.
  • Aplicando Gauss:
2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando A obtemos
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Explicação do sinal/direção: para uma placa com carga positiva, o campo sai (aponta para fora) em ambos os lados; para carga negativa, o campo aponta para a placa (em ambos os lados). O resultado em módulo é \dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}.

Passo 4

Agora aplica superposição para as duas placas opostas. Nomeando: placa superior com carga +\sigma e placa inferior com carga -\sigma. O campo total em cada região é a soma vetorial dos campos gerados por cada placa individual.
  • Campo gerado pela placa superior (positiva):
    • magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0},
    • aponta para longe da placa (para cima acima dela e para baixo na região entre as placas).
  • Campo gerado pela placa inferior (negativa):
    • magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0},
    • aponta em direção à placa (isto é, para baixo abaixo dela e para cima na região entre as placas).

Passo 5

Avaliação em cada região:
  • Região acima das duas placas (fora, acima da placa positiva):
    • campo da placa positiva aponta para cima;
    • campo da placa negativa, visto desta região, aponta para baixo;
    • os módulos são iguais ( \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}) e as direções são opostas, portanto somam vetorialmente para zero.
    • conclusão: campo acima é zero.
  • Região entre as placas:
    • campo da placa positiva aponta para baixo (afastando-se da placa positiva);
    • campo da placa negativa aponta para cima (apontando para a placa negativa), mas, visto na região entre, essa direção é a mesma do campo da positiva ou, em termos de sentido ao longo do eixo, ambos os campos apontam do positivo para o negativo; portanto eles se somam.
    • somando os módulos:
    E_{\text{entre}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
    • direção: do lado da placa positiva para a negativa (vetorialmente, do +\sigma para o -\sigma).
  • Região abaixo das placas (fora, abaixo da placa negativa):
    • campo da placa positiva, visto daqui, aponta para cima;
    • campo da placa negativa aponta para baixo;
    • direções opostas com mesmos módulos, somam a zero.
    • conclusão: campo abaixo é zero.
Observação: o resultado não depende de d porque placas infinitas produzem campos uniformes.

Passo 6

Resumo físico e dica para prova: sempre que houver duas placas infinitas com cargas opostas, o campo entre elas é uniforme e igual a \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} apontando do positivo para o negativo, e fora das placas o campo é zero por cancelamento. No tempo de prova, é rápido: lembrar a fórmula da placa única \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} e usar superposição — soma dentro, cancelamento fora. Força na prova: desenha rapidamente os vetores dos campos das placas e some-os; isso evita cálculos desnecessários.

Resposta

Acima e abaixo \mathrm{E}=0
Entre as placas \displaystyle \mathrm{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}

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