Duas placas infinitas são carregadas eletricamente com cargas opostas e estão dispostas paralelamente separadas por uma distância d. Sabendo que a densidade superficial de cargas das placas é
, calcule o campo elétrico entre as placas e acima/abaixo delas.
Resposta: Acima e abaixo
; entre as placas
Passo 1
O enunciado dá duas placas infinitas paralelas, separadas por uma distância
, com densidade superficial de carga
e cargas opostas (uma placa tem
e a outra
). A tarefa é calcular o campo elétrico:
- entre as placas;
- acima (fora, de um lado) e abaixo (fora, do outro lado) das placas.
Informações importantes fornecidas:
- densidade superficial de carga:
(unidades: ); - separação das placas:
(não precisa de valor numérico); - placas assumidas infinitas (isso implica que o campo de cada placa é uniforme e independe da distância);
- as placas têm cargas opostas (uma positiva e outra negativa).
Passo 2
Lembra do teorema que vamos usar: Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dividido por
. Em fórmula, para uma superfície fechada qualquer,
Aqui
é o fluxo,
o campo elétrico (vetor),
o vetor de área da superfície,
a carga encerrada e
a permissividade do vácuo. Vou usar isso para obter o campo de uma placa infinita uniforme (passo seguinte).
Passo 3
Campo de uma única placa infinita com densidade superficial
— derivação por Gauss (essa é uma fórmula padrão que é útil):
- Escolhe-se uma superfície de Gauss do tipo “pilha de disco” (um cilindro curto, conhecido como pillbox) com área da face igual a
, com as duas faces paralelas à placa, uma de cada lado. - Pelo simetria, o campo é perpendicular à placa e tem mesmo módulo nas duas faces. Então o fluxo total pelo cilindro é
, onde é o módulo do campo fora da placa. - A carga encerrada é a carga na área
: . - Aplicando Gauss:
- Cancelando
obtemos
Explicação do sinal/direção: para uma placa com carga positiva, o campo sai (aponta para fora) em ambos os lados; para carga negativa, o campo aponta para a placa (em ambos os lados). O resultado em módulo é
.
Passo 4
Agora aplica superposição para as duas placas opostas. Nomeando: placa superior com carga
e placa inferior com carga
. O campo total em cada região é a soma vetorial dos campos gerados por cada placa individual.
-
Campo gerado pela placa superior (positiva):
- magnitude
, - aponta para longe da placa (para cima acima dela e para baixo na região entre as placas).
- magnitude
-
Campo gerado pela placa inferior (negativa):
- magnitude
, - aponta em direção à placa (isto é, para baixo abaixo dela e para cima na região entre as placas).
- magnitude
Passo 5
Avaliação em cada região:
-
Região acima das duas placas (fora, acima da placa positiva):
- campo da placa positiva aponta para cima;
- campo da placa negativa, visto desta região, aponta para baixo;
- os módulos são iguais (
) e as direções são opostas, portanto somam vetorialmente para zero. - conclusão: campo acima é zero.
-
Região entre as placas:
- campo da placa positiva aponta para baixo (afastando-se da placa positiva);
- campo da placa negativa aponta para cima (apontando para a placa negativa), mas, visto na região entre, essa direção é a mesma do campo da positiva ou, em termos de sentido ao longo do eixo, ambos os campos apontam do positivo para o negativo; portanto eles se somam.
- somando os módulos:
- direção: do lado da placa positiva para a negativa (vetorialmente, do
para o ).
-
Região abaixo das placas (fora, abaixo da placa negativa):
- campo da placa positiva, visto daqui, aponta para cima;
- campo da placa negativa aponta para baixo;
- direções opostas com mesmos módulos, somam a zero.
- conclusão: campo abaixo é zero.
Observação: o resultado não depende de
porque placas infinitas produzem campos uniformes.
Passo 6
Resumo físico e dica para prova: sempre que houver duas placas infinitas com cargas opostas, o campo entre elas é uniforme e igual a
apontando do positivo para o negativo, e fora das placas o campo é zero por cancelamento. No tempo de prova, é rápido: lembrar a fórmula da placa única
e usar superposição — soma dentro, cancelamento fora. Força na prova: desenha rapidamente os vetores dos campos das placas e some-os; isso evita cálculos desnecessários.
Resposta
Acima e abaixo
Entre as placas
Entre as placas