Um homem parado numa plataforma que gira (sem atrito) com velocidade angular 1,2 rad/s está com os braços abertos segurando um peso em cada uma das mãos. A inércia rotacional do sistema (homem+plataforma+pesos) é
. Se, ao encolher os braços junto ao corpo, o homem muda a inércia rotacional do sistema para
. (b) Qual a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética original?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma razão entre energias:
- Velocidade angular inicial:
. - Inércia rotacional inicial:
. - Inércia rotacional final (braços encolhidos):
.
Pergunta: qual a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética original, isto é, calcular
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma direta):
-
Momento angular: o momento angular de um corpo em rotação é dado por
, onde -
é o momento angular (unidade ), -
é a inércia rotacional (unidade ), -
é a velocidade angular (unidade ).
-
-
Conservação do momento angular: se não há torque externo resultante (a plataforma gira sem atrito), o momento angular do sistema se conserva. Portanto,Isso nos permite encontrar a nova velocidade angular
. -
Energia cinética rotacional: a energia cinética de rotação éonde
é em joules. Usaremos essa expressão para e .
Passo 3
Usar a conservação do momento angular para obter
.
Substituindo numericamente:
Calculemos passo a passo:
Passo 4
Expressar as energias inicial e final e simplificar a razão:
Energia inicial:
Energia final:
A razão:
Agora substituir
. Então
Substituindo na razão:
Portanto, de forma geral quando o momento angular é conservado,
Passo 5
Calcular numericamente a razão com os valores dados:
Interpretação física curta e incentivadora: como a inércia diminuiu, a velocidade angular aumentou (conservação do momento angular) e a energia cinética aumentou. Esse aumento de energia vem do trabalho que o homem fez ao aproximar os braços (músculos fornecem essa energia). Você conseguiu — é apenas aplicar conservação do momento angular e a fórmula da energia rotacional.