Um homem parado numa plataforma que gira (sem atrito) com velocidade angular 1,2 rad/s está com os braços abertos segurando um peso em cada uma das mãos. A inércia rotacional do sistema (homem+plataforma+pesos) é 12,0 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. Se, ao encolher os braços junto ao corpo, o homem muda a inércia rotacional do sistema para 5,4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. (b) Qual a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética original?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma razão entre energias:
  • Velocidade angular inicial: \omega_1 = 1,2\\ \mathrm{rad/s}.
  • Inércia rotacional inicial: I_1 = 12,0\\ \mathrm{kg\;m^2}.
  • Inércia rotacional final (braços encolhidos): I_2 = 5,4\\ \mathrm{kg\;m^2}.
Pergunta: qual a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética original, isto é, calcular
\frac{K_2}{K_1} \; ?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Momento angular: o momento angular de um corpo em rotação é dado por \,L = I\omega\,, onde
    • L é o momento angular (unidade \mathrm{kg\;m^2/s}),
    • I é a inércia rotacional (unidade \mathrm{kg\;m^2}),
    • \omega é a velocidade angular (unidade \mathrm{rad/s}).
  • Conservação do momento angular: se não há torque externo resultante (a plataforma gira sem atrito), o momento angular do sistema se conserva. Portanto,
    I_1\omega_1 = I_2\omega_2.
    Isso nos permite encontrar a nova velocidade angular \omega_2.
  • Energia cinética rotacional: a energia cinética de rotação é
    K = \tfrac{1}{2} I \omega^2,
    onde K é em joules. Usaremos essa expressão para K_1 e K_2.

Passo 3

Usar a conservação do momento angular para obter \omega_2.
I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \quad\Rightarrow\quad \omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\,\omega_1.
Substituindo numericamente:
\omega_2 = \frac{12{,}0}{5{,}4}\times 1{,}2.
Calculemos passo a passo:
\frac{12{,}0}{5{,}4}=\frac{120}{54}=\frac{20}{9}\approx 2{,}222\ldots
\omega_2 \approx 2{,}222\ldots \times 1{,}2 = 2{,}666\ldots = \frac{8}{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Expressar as energias inicial e final e simplificar a razão:
Energia inicial:
K_1=\tfrac{1}{2}I_1\omega_1^2.
Energia final:
K_2=\tfrac{1}{2}I_2\omega_2^2.
A razão:
\frac{K_2}{K_1}=\frac{\tfrac{1}{2}I_2\omega_2^2}{\tfrac{1}{2}I_1\omega_1^2} =\frac{I_2\omega_2^2}{I_1\omega_1^2}.
Agora substituir \omega_2 = \dfrac{I_1}{I_2}\omega_1. Então
\omega_2^2 = \frac{I_1^2}{I_2^2}\,\omega_1^2.
Substituindo na razão:
\frac{K_2}{K_1} = \frac{I_2\cdot\left(\dfrac{I_1^2}{I_2^2}\omega_1^2\right)}{I_1\omega_1^2} = \frac{I_1^2}{I_1 I_2} = \frac{I_1}{I_2}.
Portanto, de forma geral quando o momento angular é conservado,
\frac{K_2}{K_1}=\frac{I_1}{I_2}.

Passo 5

Calcular numericamente a razão com os valores dados:
\frac{K_2}{K_1}=\frac{I_1}{I_2}=\frac{12{,}0}{5{,}4}=\frac{120}{54}=\frac{20}{9}\approx 2{,}222\ldots
Interpretação física curta e incentivadora: como a inércia diminuiu, a velocidade angular aumentou (conservação do momento angular) e a energia cinética aumentou. Esse aumento de energia vem do trabalho que o homem fez ao aproximar os braços (músculos fornecem essa energia). Você conseguiu — é apenas aplicar conservação do momento angular e a fórmula da energia rotacional.

Resposta

\dfrac{20}{9}\approx 2{,}22

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