Uma seção reta de fio de comprimento L conduz uma corrente i.
Mostre que o campo magnético é nulo no ponto Q, ao longo da linha do fio.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Há um trecho retilíneo de fio, de comprimento L, que conduz uma corrente de intensidade i.
  • O ponto Q está sobre a linha do fio (ou seja, na mesma reta que contém o segmento do fio), fora do trecho condutor mostrado.
  • Pedido: mostrar que o campo magnético no ponto Q é nulo (ou seja, \mathbf{B}(Q)=\mathbf{0}).

Passo 2

Ferramenta matemática que vamos usar (enunciada e explicada): a lei de Biot–Savart dá o campo magnético infinitesimal gerado por um elemento de corrente. A forma conveniente é
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}}{r^{3}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante).
  • i é a corrente que passa pelo fio.
  • d\boldsymbol{\ell} é o vetor elemento do fio: sua direção é a mesma da corrente e seu módulo é um pequeno comprimento do fio.
  • \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento d\boldsymbol{\ell} até o ponto onde se quer calcular o campo (aqui, até Q); r=\lVert\mathbf{r}\rVert.
  • O produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} determina direção e magnitude do contributo d\mathbf{B}.

Passo 3

Análise geométrica da configuração no ponto Q.
  • Para qualquer elemento d\boldsymbol{\ell} do trecho retilíneo do fio, o vetor \mathbf{r} que leva desse elemento até Q é colinear com o próprio elemento d\boldsymbol{\ell}. Em outras palavras, d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r} estão ao longo da mesma reta (mesma direção ou exatamente oposta), porque Q está sobre a continuação da reta do fio.
  • Quando dois vetores são paralelos (ou antiparalelos), o ângulo entre eles é \theta=0 ou \theta=\pi.

Passo 4

Propriedade do produto vetorial que resolvе o problema.
  • A magnitude do produto vetorial tem a forma
\lVert d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}\rVert=\lVert d\boldsymbol{\ell}\rVert\,\lVert\mathbf{r}\rVert\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}.
  • Como vimos, para todos os elementos do fio temos \theta=0 ou \theta=\pi, logo \sin\theta=0. Portanto
d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}=\mathbf{0}
para cada elemento.

Passo 5

Conclusão matemática imediata usando Biot–Savart.
  • Substituindo em Biot–Savart, para cada elemento do fio obtemos
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,(d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r})}{r^{3}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,\mathbf{0}}{r^{3}}=\mathbf{0}.
  • Como o contributo infinitesimal d\mathbf{B} é nulo para todo elemento do segmento, a integral (soma) dos contributos de todos os elementos também é nula:
\mathbf{B}(Q)=\int d\mathbf{B}=\mathbf{0}.

Passo 6

Interpretação física e observação final (intuitiva).
  • Fisicamente: o campo magnético gerado por um pequeno trecho de corrente é sempre perpendicular ao plano formado pelo elemento de corrente e pela linha que une esse elemento ao ponto de observação. Se o ponto de observação está exatamente sobre a reta do fio, não existe plano bem definido com ângulo diferente de zero entre d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r} — o campo resultante é, portanto, zero.
  • Isso vale tanto para um fio finito quanto para cada elemento do fio; não há contribuição remanescente dos extremos que gere campo em Q porque o argumento do produto vetorial vale para todos os pontos do trecho.

Resposta

\mathbf{B}(Q)=\mathbf{0}

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