Uma seção reta de fio de comprimento
conduz uma corrente
.
Mostre que o campo magnético é nulo no ponto
, ao longo da linha do fio.
Mostre que o campo magnético é nulo no ponto
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Há um trecho retilíneo de fio, de comprimento
, que conduz uma corrente de intensidade . - O ponto
está sobre a linha do fio (ou seja, na mesma reta que contém o segmento do fio), fora do trecho condutor mostrado. - Pedido: mostrar que o campo magnético no ponto
é nulo (ou seja, ).
Passo 2
Ferramenta matemática que vamos usar (enunciada e explicada): a lei de Biot–Savart dá o campo magnético infinitesimal gerado por um elemento de corrente. A forma conveniente é
Explicando cada símbolo:
-
é a permeabilidade do vácuo (constante). -
é a corrente que passa pelo fio. -
é o vetor elemento do fio: sua direção é a mesma da corrente e seu módulo é um pequeno comprimento do fio. -
é o vetor que vai do elemento até o ponto onde se quer calcular o campo (aqui, até ); . - O produto vetorial
determina direção e magnitude do contributo .
Passo 3
Análise geométrica da configuração no ponto
.
- Para qualquer elemento
do trecho retilíneo do fio, o vetor que leva desse elemento até é colinear com o próprio elemento . Em outras palavras, e estão ao longo da mesma reta (mesma direção ou exatamente oposta), porque está sobre a continuação da reta do fio. - Quando dois vetores são paralelos (ou antiparalelos), o ângulo entre eles é
ou .
Passo 4
Propriedade do produto vetorial que resolvе o problema.
- A magnitude do produto vetorial tem a forma
onde
é o ângulo entre
e
.
- Como vimos, para todos os elementos do fio temos
ou , logo . Portanto
para cada elemento.
Passo 5
Conclusão matemática imediata usando Biot–Savart.
- Substituindo em Biot–Savart, para cada elemento do fio obtemos
- Como o contributo infinitesimal
é nulo para todo elemento do segmento, a integral (soma) dos contributos de todos os elementos também é nula:
Passo 6
Interpretação física e observação final (intuitiva).
- Fisicamente: o campo magnético gerado por um pequeno trecho de corrente é sempre perpendicular ao plano formado pelo elemento de corrente e pela linha que une esse elemento ao ponto de observação. Se o ponto de observação está exatamente sobre a reta do fio, não existe plano bem definido com ângulo diferente de zero entre
e — o campo resultante é, portanto, zero. - Isso vale tanto para um fio finito quanto para cada elemento do fio; não há contribuição remanescente dos extremos que gere campo em
porque o argumento do produto vetorial vale para todos os pontos do trecho.