-4 Duas placas paralelas condutoras, de grande extensão, estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas. Uma força eletrostática de 3,9 \times 10^{-15} \mathrm{~N} age sobre um elétron colocado na região entre as duas placas. (Despreze o efeito de borda.) (a) Determine o campo elétrico na posição do elétron. (b) Determine a diferença de potencial entre as placas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Placas paralelas separadas por d=12\\ \text{cm}=0,12\\ \mathrm{m}.
  • Densidades superficiais de carga nas faces internas têm mesmo módulo e sinais opostos (ou seja, uma face interna positiva e a outra negativa), portanto o campo elétrico entre as placas é uniforme e aponta da placa positiva para a placa negativa.
  • Um elétron colocado entre as placas sofre uma força eletrostática de módulo F=3,9\times10^{-15}\\ \mathrm{N}. (Foi dado o módulo da força.)
  • Valor da carga do elétron: q_{\text{el}}=-e com e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Perguntas do problema:
(a) Determinar o campo elétrico na posição do elétron.
(b) Determinar a diferença de potencial entre as placas.

Passo 2

Relembre a relação entre força elétrica e campo elétrico: para uma carga puntual q colocada num campo uniforme \vec{E} vale
\vec{F}=q\,\vec{E}.
Aqui:
  • \vec{F} é a força elétrica sobre a partícula (vetor), em newton ( \mathrm{N}).
  • q é a carga da partícula, em coulomb ( \mathrm{C}). Para o elétron q=q_{\text{el}}=-e.
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto, em newton por coulomb ( \mathrm{N/C}).
Desse modo, para obter \vec{E} isolamos:
\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}.
Como foi fornecido o módulo da força F e sabemos o sinal da carga do elétron ( q_{\text{el}}<0), podemos obter tanto a magnitude de \vec{E} quanto sua direção relativa à força conhecida.
Observação importante sobre sinais e direção: o campo entre as placas aponta da placa positiva para a negativa. O elétron (negativo) sente uma força na direção oposta ao campo (atraído pela placa positiva). Portanto, se se conhece o sentido da força sobre o elétron, isso confirma que a força está apontando da placa negativa para a positiva — mas para os cálculos basta usar a equação \vec{E}=\vec{F}/q.

Passo 3

Calcular o módulo do campo elétrico usando o módulo da força e o valor absoluto da carga do elétron:
| \vec{E} | = \frac{F}{|q_{\text{el}}|} = \frac{3,9\times10^{-15}}{1,602\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{3,9}{1,602}\approx 2,4332, \qquad 10^{-15}/10^{-19}=10^{4},
logo
| \vec{E} | \approx 2,4332\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando compativelmente com os dados (duas cifras significativas, já que F foi dado como 3,9\times10^{-15}):
| \vec{E} |\approx 2,4\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Quanto ao sinal/direção: usando \vec{E}=\vec{F}/q_{\text{el}} e lembrando que q_{\text{el}}=-e, temos que \vec{E} tem sentido oposto ao de \vec{F} (porque q_{\text{el}}<0). Como entre as placas o campo aponta da placa positiva para a negativa, a direção correta do campo é “da placa positiva para a placa negativa” e seu módulo é o valor acima.

Passo 4

Agora calcular a diferença de potencial entre as placas. Para campo uniforme entre placas paralelas vale, em módulo,
|\Delta V| = |E|\,d,
onde:
  • \Delta V é a diferença de potencial entre a placa positiva e a negativa (vou interpretar \Delta V=V_{+}-V_{-});
  • d é a separação entre as placas.
Usando os valores:
|\Delta V| = (2,4332\times10^{4}\\ \mathrm{N/C})\times(0,12\\ \mathrm{m}) = 2,9198\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Arredondando com duas cifras significativas:
|\Delta V|\approx 2,9\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Quanto ao sinal: V_{+}-V_{-}=E\,d com E no sentido da placa positiva para a negativa, então a placa positiva está \,2,9\times10^{3}\\ \mathrm{V}\, mais alta que a negativa.

Passo 5

Resumo rápido de consistência e interpretação física:
  • O campo é relativamente grande (ordem de 10^{4}\\ \mathrm{N/C}), típico de placas carregadas com densidades razoáveis.
  • A diferença de potencial de cerca de 2{,}9\\ \text{kV} entre placas separadas por 12\\ \text{cm} corresponde precisamente ao campo uniforme calculado ( E=\Delta V/d), confirmação da coerência dos cálculos.

Resposta

(a) |\vec{E}|=2,4\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} (direção: da placa positiva para a placa negativa).
(b) \Delta V=V_{+}-V_{-}=2,9\times10^{3}\\ \mathrm{V}.

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