1. (Valor: 0,25 pt.) Repita o exercício anterior, considerando um campo magnético não-homogêneo dado por,
\vec{B}=\alpha x y \hat{i}+\beta y^{2} \hat{j}+[\gamma(2 x+y)-(\alpha+2 \beta) y z] \hat{k}
Calcule a força, exatamente, e também a aproximação de ordem menor. Encontre o torque e a energia magnética E_{\text {mag }}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo magnético (dependente de x,y,z):
\vec{B}=\alpha x y\,\hat{i}+\beta y^{2}\,\hat{j}+[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta) y z]\,\hat{k}
e pede:
  • Calcular a força, exatamente, e também a aproximação de ordem menor.
  • Encontrar o torque.
  • Calcular a energia magnética E_{\text{mag}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo \vec B é explicitamente dado como função de (x,y,z).
  • Para representar o momento magnético do laço (ou dipolo), introduzimos a notação geral \vec{m}=m_x\,\hat{i}+m_y\,\hat{j}+m_z\,\hat{k}. Não foi dado um valor numérico para \vec m, então manteremos as componentes m_x,m_y,m_z simbólicas.
  • As quantidades a obter são funções (no geral) da posição (x,y,z) e de \vec m.

Passo 2

Fórmulas e ideias que vou usar (explicadas devagarinho, como um amigo explicando no caderno):
  • Energia potencial magnética de um dipolo magnético \vec m no campo \vec B:
E_{\text{mag}} = U = -\vec{m}\cdot\vec{B}.
Explicação: isto é análogo ao potencial elétrico de um dipolo elétrico; o sinal menos indica que a configuração com \vec m alinhado com \vec B tem energia menor.
  • Torque sobre o dipolo magnético:
\vec{\tau} = \vec{m}\times\vec{B}.
Explicação: torque tende a alinhar o momento magnético com o campo. A direção e sentido vêm da regra da mão direita do produto vetorial.
  • Força sobre um dipolo magnético pontual com momento \vec m: uma fórmula frequentemente usada é
\vec{F}=\nabla(\vec{m}\cdot\vec{B}).
Explicação cuidadosa: isso dá a força resultante sobre um dipolo ideal quando \vec m é considerado constante (não dependente da posição). Outra forma equivalente, útil para manipular, é a identidade vetorial
\nabla(\vec{m}\cdot\vec{B})=(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}+\vec{m}\times(\nabla\times\vec{B}).
Isto mostra que \nabla(\vec m\cdot\vec B) difere de (\vec m\cdot\nabla)\vec B por um termo envolvendo \nabla\times\vec B. Vou usar diretamente \vec{F}=\nabla(\vec{m}\cdot\vec{B}) (fórmula padrão para dipolo em campo externo), e quando útil explico a relação com (\vec m\cdot\nabla)\vec B.
Observação de física: o campo dado satisfaz \nabla\cdot\vec B=0 (verificação rápida a seguir), mas tem \nabla\times\vec B\neq\vec 0 em geral, então é bom ficar atento à forma usada; usar \vec F=\nabla(\vec m\cdot\vec B) é a escolha segura aqui.

Passo 3

Cálculo exato da força: primeiro computo o escalar \vec{m}\cdot\vec{B}, depois faço o gradiente.
Escrevo o produto escalar:
\vec{m}\cdot\vec{B}=m_x(\alpha x y)+m_y(\beta y^2)+m_z\big(\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)y z\big).
Para ficar claro, este é um escalar que depende de x,y,z e das componentes m_x,m_y,m_z.
Agora calculo as derivadas parciais para o gradiente \vec{F}=\nabla(\vec{m}\cdot\vec{B}).
Derivada em relação a x:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\big(\vec{m}\cdot\vec{B}\big) &= \frac{\partial}{\partial x}\big(m_x\alpha x y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(m_y\beta y^2\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(m_z[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)y z]\big)\\[4pt] &= m_x\alpha y + 0 + m_z(2\gamma). \end{aligned}
Expliquei: o primeiro termo dá m_x\alpha y (diferenciando x), o segundo não depende de x, o terceiro o termo \gamma(2x+y) 2\gamma m_z e o termo -(\alpha+2\beta)yz não depende de x.
Derivada em relação a y:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\big(\vec{m}\cdot\vec{B}\big) &= \frac{\partial}{\partial y}\big(m_x\alpha x y\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(m_y\beta y^2\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(m_z[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)y z]\big)\\[4pt] &= m_x\alpha x + 2\beta m_y y + m_z\big(\gamma -(\alpha+2\beta) z\big). \end{aligned}
Expliquei: do terceiro termo, derivando em y obtém-se \gamma m_z pela parte \gamma y e o termo -(\alpha+2\beta) y z -(\alpha+2\beta) z\,m_z.
Derivada em relação a z:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial z}\big(\vec{m}\cdot\vec{B}\big) &= \frac{\partial}{\partial z}\big(m_x\alpha x y\big) + \frac{\partial}{\partial z}\big(m_y\beta y^2\big) + \frac{\partial}{\partial z}\big(m_z[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)y z]\big)\\[4pt] &= 0 + 0 + m_z\big(-(\alpha+2\beta) y\big). \end{aligned}
Portanto a força exata é a combinação dessas componentes:
\boxed{\displaystyle \vec{F}= \big(\alpha m_x y + 2\gamma m_z\big)\,\hat{i} +\big(\alpha m_x x + 2\beta m_y y + \gamma m_z -(\alpha+2\beta)m_z z\big)\,\hat{j} -\big(\alpha+2\beta\big)m_z y\,\hat{k}. }
(Repito mentalmente: cada componente veio de uma derivada parcial do escalar \vec m\cdot\vec B.)]

Passo 4

Aproximação de ordem menor (termos de menor ordem espacial): interpretação prática e como fazer a conta:
  • O campo dado tem termos de diferentes ordens em x,y,z. Para obter a aproximação de ordem menor em (x,y,z) ao redor da origem, mantenho apenas os termos de menor ordem espacial (constantes e/ou lineares com menor grau).
  • Observe a expressão de \vec{m}\cdot\vec{B}: os termos lineares em coordenadas são apenas os provenientes de m_z\gamma(2x+y). Os outros termos são de ordem quadratic (como x y, y^2, y z). Assim, no gradiente, os termos constantes (independentes de x,y,z) surgem das derivadas desses termos lineares.
Pegando apenas os termos de menor ordem da expressão exata da força, mantenho os termos constantes (ordem zero em x,y,z) que aparecem nas componentes F_x e F_y:
\vec{F}_{\text{(menor ordem)}} \approx (2\gamma m_z)\,\hat{i} + (\gamma m_z)\,\hat{j} + 0\,\hat{k}.
Explicação: na expressão exata, os outros termos contêm x,y ou z multiplicando constantes (são de ordem superior perto da origem), então a menor-ordem (termo dominante para pequenas coordenadas) é o vetor acima.

Passo 5

Cálculo do torque exato e sua aproximação de menor ordem.
Fórmula:
\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}.
Faço o produto vetorial componente a componente usando \vec{m}=(m_x,m_y,m_z) e as componentes de \vec B.
Cálculo explícito (detalhado):
\begin{aligned} \tau_x &= m_y B_z - m_z B_y = m_y\big(\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)yz\big) - m_z(\beta y^2),\\[4pt] \tau_y &= m_z B_x - m_x B_z = m_z(\alpha x y) - m_x\big(\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)yz\big),\\[4pt] \tau_z &= m_x B_y - m_y B_x = m_x(\beta y^2) - m_y(\alpha x y). \end{aligned}
Portanto o torque exato é
\boxed{\displaystyle \vec{\tau}= \big(m_y[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)yz]-\beta m_z y^2\big)\,\hat{i} +\big(\alpha m_z x y - m_x[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)yz]\big)\,\hat{j} +\big(\beta m_x y^2-\alpha m_y x y\big)\,\hat{k}. }
Aproximação de ordem menor para o torque: manter termos de menor ordem espacial em \vec B. Olhando para \vec B, o menor (mais baixo grau) termo é B_z\approx \gamma(2x+y) (linear), enquanto B_x e B_y são quadráticos em coordenadas. Assim, ao menor ordem:
\vec{\tau}_{\text{(menor ordem)}}\approx \vec{m}\times\big(\gamma(2x+y)\,\hat{k}\big) = \gamma(2x+y)\big(m_y\,\hat{i}-m_x\,\hat{j}\big).
(Componente \hat{k} é de ordem superior porque envolve B_x,B_y quadráticos.)]

Passo 6

Energia magnética E_{\text{mag}} (exata e aproximada):
Usando a fórmula
E_{\text{mag}} = -\vec{m}\cdot\vec{B},
já temos o escalar negativo do produto escalar calculado no Passo 3. Assim a energia exata é
\boxed{\displaystyle E_{\text{mag}} = -\big(m_x\alpha x y + m_y\beta y^2 + m_z[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta) y z]\big). }
Aproximação de menor ordem para E_{\text{mag}}: manter apenas o termo linear de menor ordem (visto antes):
\boxed{\displaystyle E_{\text{mag,(menor ordem)}} \approx -m_z\gamma(2x+y) = -\gamma m_z(2x+y). }

Resposta

\displaystyle \vec{F}=(\alpha m_x y+2\gamma m_z)\,\hat{i}+(\alpha m_x x+2\beta m_y y+\gamma m_z-(\alpha+2\beta)m_z z)\,\hat{j}-(\alpha+2\beta)m_z y\,\hat{k}.
\displaystyle \vec{F}_{\text{(menor ordem)}}=(2\gamma m_z)\,\hat{i}+(\gamma m_z)\,\hat{j}+0\,\hat{k}.
\displaystyle \vec{\tau}=\big(m_y[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)yz]-\beta m_z y^2\big)\,\hat{i}+\big(\alpha m_z x y - m_x[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta)yz]\big)\,\hat{j}+\big(\beta m_x y^2-\alpha m_y x y\big)\,\hat{k}.
\displaystyle E_{\text{mag}}=-\big(m_x\alpha x y + m_y\beta y^2 + m_z[\gamma(2x+y)-(\alpha+2\beta) y z]\big).
\displaystyle E_{\text{mag,(menor ordem)}}\approx -\gamma m_z(2x+y).

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