- (Valor: 0,25 pt.) Repita o exercício anterior, considerando um campo magnético não-homogêneo dado por,
Calcule a força, exatamente, e também a aproximação de ordem menor. Encontre o torque e a energia magnética
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo magnético (dependente de
):
e pede:
- Calcular a força, exatamente, e também a aproximação de ordem menor.
- Encontrar o torque.
- Calcular a energia magnética
.
Informações relevantes fornecidas:
- O campo
é explicitamente dado como função de . - Para representar o momento magnético do laço (ou dipolo), introduzimos a notação geral
. Não foi dado um valor numérico para , então manteremos as componentes simbólicas. - As quantidades a obter são funções (no geral) da posição
e de .
Passo 2
Fórmulas e ideias que vou usar (explicadas devagarinho, como um amigo explicando no caderno):
- Energia potencial magnética de um dipolo magnético
no campo :
Explicação: isto é análogo ao potencial elétrico de um dipolo elétrico; o sinal menos indica que a configuração com
alinhado com
tem energia menor.
- Torque sobre o dipolo magnético:
Explicação: torque tende a alinhar o momento magnético com o campo. A direção e sentido vêm da regra da mão direita do produto vetorial.
- Força sobre um dipolo magnético pontual com momento
: uma fórmula frequentemente usada é
Explicação cuidadosa: isso dá a força resultante sobre um dipolo ideal quando
é considerado constante (não dependente da posição). Outra forma equivalente, útil para manipular, é a identidade vetorial
Isto mostra que
difere de
por um termo envolvendo
. Vou usar diretamente
(fórmula padrão para dipolo em campo externo), e quando útil explico a relação com
.
Observação de física: o campo dado satisfaz
(verificação rápida a seguir), mas tem
em geral, então é bom ficar atento à forma usada; usar
é a escolha segura aqui.
Passo 3
Cálculo exato da força: primeiro computo o escalar
, depois faço o gradiente.
Escrevo o produto escalar:
Para ficar claro, este é um escalar que depende de
e das componentes
.
Agora calculo as derivadas parciais para o gradiente
.
Derivada em relação a
:
Expliquei: o primeiro termo dá
(diferenciando
), o segundo não depende de
, o terceiro o termo
dá
e o termo
não depende de
.
Derivada em relação a
:
Expliquei: do terceiro termo, derivando em
obtém-se
pela parte
e o termo
dá
.
Derivada em relação a
:
Portanto a força exata é a combinação dessas componentes:
(Repito mentalmente: cada componente veio de uma derivada parcial do escalar
.)]
Passo 4
Aproximação de ordem menor (termos de menor ordem espacial): interpretação prática e como fazer a conta:
- O campo dado tem termos de diferentes ordens em
. Para obter a aproximação de ordem menor em ao redor da origem, mantenho apenas os termos de menor ordem espacial (constantes e/ou lineares com menor grau). - Observe a expressão de
: os termos lineares em coordenadas são apenas os provenientes de . Os outros termos são de ordem quadratic (como , , ). Assim, no gradiente, os termos constantes (independentes de ) surgem das derivadas desses termos lineares.
Pegando apenas os termos de menor ordem da expressão exata da força, mantenho os termos constantes (ordem zero em
) que aparecem nas componentes
e
:
Explicação: na expressão exata, os outros termos contêm
ou
multiplicando constantes (são de ordem superior perto da origem), então a menor-ordem (termo dominante para pequenas coordenadas) é o vetor acima.
Passo 5
Cálculo do torque exato e sua aproximação de menor ordem.
Fórmula:
Faço o produto vetorial componente a componente usando
e as componentes de
.
Cálculo explícito (detalhado):
Portanto o torque exato é
Aproximação de ordem menor para o torque: manter termos de menor ordem espacial em
. Olhando para
, o menor (mais baixo grau) termo é
(linear), enquanto
e
são quadráticos em coordenadas. Assim, ao menor ordem:
(Componente
é de ordem superior porque envolve
quadráticos.)]
Passo 6
Energia magnética
(exata e aproximada):
Usando a fórmula
já temos o escalar negativo do produto escalar calculado no Passo 3. Assim a energia exata é
Aproximação de menor ordem para
: manter apenas o termo linear de menor ordem (visto antes):