1. (Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) Calcule o campo magnético gerado por uma espira quadrada de lado a no eixo da espira a uma distância z do centro.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o campo magnético gerado por uma espira quadrada de lado a no eixo da espira, a uma distância z do centro.
Informações e hipóteses que vou usar (estou pegando só o que está no enunciado e o que é óbvio para formular o problema):
  • A espira é quadrada, cada lado tem comprimento a.
  • A espira transporta uma corrente elétrica estacionária que vou chamar de I (o enunciado não dá I, então a resposta ficará em função de I).
  • O ponto onde queremos o campo está sobre o eixo perpendicular ao plano da espira que passa pelo centro, a uma distância z do centro; em coordenadas vou tomar esse ponto como (0,0,z).
  • O objetivo é obter o vetor \mathbf{B} nesse ponto (magnitude e direção).

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): por simetria o campo no eixo terá apenas componente ao longo do eixo (direção \hat{z}), porque as componentes horizontais geradas pelos quatro lados se cancelam. Para calcular a contribuição magnética de um lado uso a lei de Biot–Savart.
Apresento a lei de Biot–Savart (explicando o que é cada coisa): para um elemento de fio com corrente I e comprimento vetorial d\boldsymbol{\ell}, o campo magnético infinitesimal no ponto \mathbf{r} é
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo;
  • \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de fio até o ponto onde se calcula o campo; r=|\mathbf{r}| é sua magnitude e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor;
  • d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}} indica que a contribuição é perpendicular ao plano formado por d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}.
Vou colocar a espira no plano xy, centrada na origem, com lados paralelos aos eixos. Então um lado superior tem equação paramétrica (x,y,z)=(x,a/2,0) com x\in[-a/2,a/2]. O ponto onde calculamos o campo é (0,0,z).

Passo 3

Calcular o produto vetorial para o lado superior (os outros lados são simétricos). Para esse lado escolhemos d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{x}. O vetor que liga o elemento (x,a/2,0) até (0,0,z) é
\mathbf{r}=(-x)\,\hat{x} -\frac{a}{2}\,\hat{y} + z\,\hat{z}.
O produto vetorial é
d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}=dx\,\hat{x}\times\bigl((-x)\hat{x}-\tfrac{a}{2}\hat{y}+z\hat{z}\bigr) =dx\bigl(-\tfrac{a}{2}\,\hat{z}-z\,\hat{y}\bigr).
Explicando: \hat{x}\times\hat{x}=0, \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} e \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}. Observe que essa expressão tem uma componente em \hat{z} proporcional a -\tfrac{a}{2}dx e uma componente em \hat{y} proporcional a -z\,dx. Quando somarmos as contribuições dos quatro lados, as componentes horizontais ( \hat{x},\hat{y}) vão se cancelar por simetria, restando apenas a componente ao longo de \hat{z}. Portanto basta calcular a contribuição dB_z deste lado e multiplicar por 4.
A magnitude do vetor \mathbf{r} é
r=\sqrt{x^2+\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+z^2}.
Usando Biot–Savart, a contribuição para a componente z de um elemento é
dB_z=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{(-\tfrac{a}{2})\,dx}{r^3}.
A sinalização (o sinal negativo) indica direção; aqui vou focar na magnitude e, no final, dar a direção usando a regra da mão direita. Para a magnitude retiro o módulo do numerador \tfrac{a}{2}.

Passo 4

Escrevo a integral para a contribuição em magnitude de um lado (definindo R^2=\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+z^2 para simplificar):
B_{z}^{(\text{um lado})}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{2}\int_{-a/2}^{a/2}\frac{dx}{\bigl(x^2+R^2\bigr)^{3/2}}, \qquad \text{com }R^2=\frac{a^2}{4}+z^2.
Agora calculo a integral. Uma primitiva conhecida é
\int\frac{dx}{\bigl(x^2+R^2\bigr)^{3/2}}=\frac{x}{R^2\sqrt{x^2+R^2}}+C.
Aplicando os limites x=-a/2 a x=+a/2 obtemos
\int_{-a/2}^{a/2}\frac{dx}{(x^2+R^2)^{3/2}} =\left.\frac{x}{R^2\sqrt{x^2+R^2}}\right|_{-a/2}^{a/2} =\frac{a}{R^2\sqrt{\tfrac{a^2}{2}+z^2}}.
Note que \sqrt{\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+R^2}=\sqrt{\tfrac{a^2}{2}+z^2}, por isso o resultado acima.
Substituindo na expressão de B_{z}^{(\text{um lado})}:
B_{z}^{(\text{um lado})}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{R^2\sqrt{\tfrac{a^2}{2}+z^2}} =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a^2}{2\,R^2\sqrt{\tfrac{a^2}{2}+z^2}}.

Passo 5

Como a espira tem quatro lados idênticos e as componentes transversais se cancelam, o campo total no eixo é quatro vezes a contribuição de um lado:
B_z=4\,B_{z}^{(\text{um lado})} =4\cdot\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a^2}{2\,R^2\sqrt{\tfrac{a^2}{2}+z^2}} =\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\frac{a^2}{R^2\sqrt{\tfrac{a^2}{2}+z^2}}.
Lembrando R^2=\dfrac{a^2}{4}+z^2, chegamos à forma final (direção ao longo de \hat{z}, cuja orientação (+z ou -z) depende do sentido da corrente via regra da mão direita).

Passo 6

Verificações rápidas e interpretação (para dar confiança):
  • No ponto central z=0 a fórmula dá
B_z(z=0)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\frac{a^2}{\left(\dfrac{a^2}{4}\right)\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}} =\frac{2\sqrt{2}\,\mu_0 I}{\pi a},
que é o valor clássico conhecido para o campo no centro de uma espira quadrada — bom sinal.
  • A direção do vetor \mathbf{B} é \hat{z} ou -\hat{z} dependendo do sentido da corrente: pela regra da mão direita, se a corrente percorrer a espira no sentido anti-horário vista de cima, \mathbf{B} aponta para cima ( +\hat{z}).

Resposta

\mathbf{B}(0,0,z)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\frac{a^2}{\left(\dfrac{a^2}{4}+z^2\right)\sqrt{\dfrac{a^2}{2}+z^2}}\,\hat{z}.

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