(Valor: \mathbf{0 , 5} pt.) Calcule o campo magnético gerado por uma espira quadrada de lado a no eixo da espira a uma distância z do centro.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o campo magnético gerado por uma espira quadrada de lado a no eixo da espira, a uma distância z do centro.
Informações e hipóteses que vou usar (estou pegando só o que está no enunciado e o que é óbvio para formular o problema):
A espira é quadrada, cada lado tem comprimento a.
A espira transporta uma corrente elétrica estacionária que vou chamar de I (o enunciado não dá I, então a resposta ficará em função de I).
O ponto onde queremos o campo está sobre o eixo perpendicular ao plano da espira que passa pelo centro, a uma distância z do centro; em coordenadas vou tomar esse ponto como (0,0,z).
O objetivo é obter o vetor \mathbf{B} nesse ponto (magnitude e direção).
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): por simetria o campo no eixo terá apenas componente ao longo do eixo (direção \hat{z}), porque as componentes horizontais geradas pelos quatro lados se cancelam. Para calcular a contribuição magnética de um lado uso a lei de Biot–Savart.
Apresento a lei de Biot–Savart (explicando o que é cada coisa): para um elemento de fio com corrente I e comprimento vetorial d\boldsymbol{\ell}, o campo magnético infinitesimal no ponto \mathbf{r} é
\mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de fio até o ponto onde se calcula o campo; r=|\mathbf{r}| é sua magnitude e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor;
d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}} indica que a contribuição é perpendicular ao plano formado por d\boldsymbol{\ell} e \mathbf{r}.
Vou colocar a espira no plano xy, centrada na origem, com lados paralelos aos eixos. Então um lado superior tem equação paramétrica (x,y,z)=(x,a/2,0) com x\in[-a/2,a/2]. O ponto onde calculamos o campo é (0,0,z).
Passo 3
Calcular o produto vetorial para o lado superior (os outros lados são simétricos). Para esse lado escolhemos d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{x}. O vetor que liga o elemento (x,a/2,0) até (0,0,z) é
Explicando: \hat{x}\times\hat{x}=0, \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} e \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}. Observe que essa expressão tem uma componente em \hat{z} proporcional a -\tfrac{a}{2}dx e uma componente em \hat{y} proporcional a -z\,dx. Quando somarmos as contribuições dos quatro lados, as componentes horizontais (\hat{x},\hat{y}) vão se cancelar por simetria, restando apenas a componente ao longo de \hat{z}. Portanto basta calcular a contribuição dB_z deste lado e multiplicar por 4.
A magnitude do vetor \mathbf{r} é
r=\sqrt{x^2+\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+z^2}.
Usando Biot–Savart, a contribuição para a componente z de um elemento é
A sinalização (o sinal negativo) indica direção; aqui vou focar na magnitude e, no final, dar a direção usando a regra da mão direita. Para a magnitude retiro o módulo do numerador \tfrac{a}{2}.
Passo 4
Escrevo a integral para a contribuição em magnitude de um lado (definindo R^2=\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+z^2 para simplificar):
Lembrando R^2=\dfrac{a^2}{4}+z^2, chegamos à forma final (direção ao longo de \hat{z}, cuja orientação (+z ou -z) depende do sentido da corrente via regra da mão direita).
Passo 6
Verificações rápidas e interpretação (para dar confiança):
que é o valor clássico conhecido para o campo no centro de uma espira quadrada — bom sinal.
A direção do vetor \mathbf{B} é \hat{z} ou -\hat{z} dependendo do sentido da corrente: pela regra da mão direita, se a corrente percorrer a espira no sentido anti-horário vista de cima, \mathbf{B} aponta para cima (+\hat{z}).