Duas placas paralelas condutoras permanecem ligadas a uma bateria por longo tempo e ficam totalmente carregadas. O que acontece com a carga das placas quando um bloco de material condutor é introduzido entre as placas, sem tocá-las?
Passo 1
O enunciado: duas placas paralelas condutoras ficam ligadas a uma bateria por longo tempo (logo, estão em equilíbrio eletrostático) e ficam totalmente carregadas. Depois disso, um bloco de material condutor é introduzido entre as placas, sem tocá‑las. A pergunta: o que acontece com a carga das placas quando o bloco condutor é inserido?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As placas são condutoras e paralelas, separadas por uma distância
. - As placas estão ligadas a uma bateria por longo tempo → a diferença de potencial entre elas é mantida fixa pela bateria; chamaremos essa diferença de potencial de
. - O bloco inserido é condutor e não toca as placas (logo não há curto).
- O sistema já estava carregado e em equilíbrio antes da inserção do bloco.
Nenhuma outra informação geométrica (como a área
das placas ou a espessura do bloco
) foi dada explicitamente, mas podemos tomar variáveis para discutir o efeito geral. A resolução começa agora.
Passo 2
Conceito chave 1 — capacitor ligado a bateria e a relação carga/voltagem:
Quando duas placas condutoras paralelas estão ligadas a uma bateria, elas formam um capacitor com capacitância . A bateria mantém a diferença de potencial fixa igual a
. A carga em cada placa (módulo da carga) satisfaz a relação
Quando duas placas condutoras paralelas estão ligadas a uma bateria, elas formam um capacitor com capacitância
onde
é o módulo da carga em cada placa (placa positiva tem
, placa negativa tem
). Aqui
depende apenas da geometria do capacitor e do meio entre as placas.
Explicação didática: isso significa que, se
é mantido fixo (porque a bateria “puxa” a diferença de potencial), qualquer mudança na capacitância
provoca mudança na carga
de acordo com essa fórmula.
Passo 3
Conceito chave 2 — propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático:
Num condutor em equilíbrio:
Num condutor em equilíbrio:
- O campo elétrico dentro do condutor é zero.
- O condutor é um equipotencial (toda sua massa tem o mesmo potencial).
- Se um condutor neutro é colocado num campo externo, surgem cargas induzidas nas superfícies, de sinais opostos em faces distintas, mas a carga total do bloco permanece a que já tinha (se inicialmente neutro, o total permanece zero).
Aplicação intuitiva ao nosso caso: ao inserir um bloco condutor entre as placas, o bloco ficará com superfícies internas carregadas por indução (próximas à placa positiva terá carga negativa induzida; próxima à placa negativa terá carga positiva induzida), de modo a anular o campo dentro do bloco. O bloco, se isolado, terá carga líquida zero.
Passo 4
Modelo geométrico simples para calcular o efeito (variável usada):
- Área das placas:
. - Separação entre placas:
. - Espessura do bloco condutor inserido (paralelo às placas):
com . - As regiões entre placa e bloco têm espessuras
e , com . Não importa se o bloco fica deslocado; só importa a soma das duas lacunas de dielétrico (vácuo/ar) entre placa e bloco.
Observação prática: essa modelagem é válida para placas grandes e bloco cobrindo a área A de forma aproximadamente uniforme (modelo de placas paralelas com espaço menor). O resultado qualitativo vale também para situações reais: o bloco reduz a distância efetiva onde existe campo.
Passo 5
Cálculo da capacitância com o bloco presente — argumento de capacitores em série:
Como o condutor tem campo interno zero, a queda de potencial entre as placas ocorre apenas nas duas regiões de vácuo (as duas lacunas): uma entre a placa superior e a face do bloco e outra entre a face oposta do bloco e a placa inferior. Essas duas regiões podem ser vistas como dois capacitores em série:
Como o condutor tem campo interno zero, a queda de potencial entre as placas ocorre apenas nas duas regiões de vácuo (as duas lacunas): uma entre a placa superior e a face do bloco e outra entre a face oposta do bloco e a placa inferior. Essas duas regiões podem ser vistas como dois capacitores em série:
- Capacitância da primeira lacuna:
- Capacitância da segunda lacuna:
Capacitores em série combinam pela relação
Substituindo,
Portanto a capacitância equivalente com o bloco inserido é
Comentário importante e intuitivo: comparando com a capacitância original sem bloco,
vemos que
Como
(já que
), a capacitância aumenta ao inserir o bloco condutor.
Passo 6
Consequência para a carga nas placas quando a bateria mantém
fixo:
Usando com
fixo pela bateria, a nova carga em módulo nas placas será
Usando
Como
, concluímos que
Ou seja: o módulo da carga nas placas aumenta quando o bloco condutor é inserido. A bateria fornece a carga extra necessária até que o novo equilíbrio com a nova capacitância seja alcançado.
Passo 7
Detalhes sobre indução e conservação de carga no bloco:
- O bloco condutor, por ser isolado e inicialmente neutro (presumível), permanecerá com carga líquida zero. Porém, na face voltada para a placa positiva aparecerá uma carga induzida negativa e na face voltada para a placa negativa aparecerá uma carga induzida positiva, de modo que a soma seja zero.
- As placas, por sua vez, terão aumento no módulo das suas cargas: a placa ligada ao polo positivo da bateria ficará mais positiva (mais carga
) e a placa ligada ao polo negativo ficará mais negativa (mais carga ). A bateria provê quem fornece/remova elétrons para atingir esse novo valor de .
Passo 8
Interpretação física do campo e da voltagem:
Com o bloco presente, o campo elétrico existe apenas nas lacunas de vácuo de espessura total . A tensão total entre placas é
Com o bloco presente, o campo elétrico existe apenas nas lacunas de vácuo de espessura total
onde
é o módulo do campo nas lacunas. Como
é fixo, o campo nas lacunas fica maior do que antes:
Esse campo maior nas lacunas corresponde a uma densidade de carga de superfície maior nas placas, pois pela lei de Gauss para uma placa grande temos
, e
.
Passo 9
Limites e intuição final:
- Se
(não há bloco), recuperamos e . - Se
(o bloco preenche todo o espaço, sem tocar), então e tende a um valor muito grande (teoricamente infinito para o modelo ideal), o que significaria que a bateria teria que fornecer uma grande quantidade de carga — na prática, antes de chegar a essa situação real ocorreria contato/curto ou outros efeitos não ideais. Mas o comportamento mostra que a presença de um condutor entre as placas facilita o armazenamento de mais carga para a mesma voltagem.
Resposta
A carga em módulo nas placas aumenta. O bloco induz cargas de sinais opostos em suas faces (carga líquida do bloco permanece zero) e a bateria fornece a carga extra necessária para que
com
.