Duas placas paralelas infinitas, separadas por uma distância d, possuem densidades superficiais de carga uniformes +\rho_{S} e -\rho_{S}. Determine:
o campo elétrico abaixo da placa inferior.

Passo 1

O enunciado dá duas placas paralelas infinitas, separadas por distância d, com densidades superficiais de carga uniformes +\rho_{S} e -\rho_{S}. Queremos o campo elétrico na região abaixo da placa que está mais em baixo (ou seja, fora das duas placas). Para resolver isso, vamos usar superposição e a expressão do campo de uma lâmina infinita carregada.

Passo 2

Lembramos que o campo de uma lâmina infinita com densidade superficial de carga \sigma vale
E = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_{0}}
em módulo, dirigido sempre afastando-se da lâmina se \sigma>0 e em direção à lâmina se \sigma<0.

Passo 3

Denotemos a placa inferior como placa 1 e a superior como placa 2, com cargas \rho_{S} e -\rho_{S}, respectivamente. Num ponto abaixo da placa 1, a contribução de campo de cada lâmina é:
  • Placa 1 ( +\rho_{S} ou -\rho_{S}): gera um campo de módulo \bigl|\rho_{S}\bigr|/(2\varepsilon_{0}) apontando para fora se for positiva ou para dentro se for negativa.
  • Placa 2 ( -\rho_{S} ou +\rho_{S}): também gera um campo de módulo \bigl|\rho_{S}\bigr|/(2\varepsilon_{0}), mas como está acima das duas placas, sua contribuição no ponto abaixo da placa 1 tem direção oposta à da placa 1.

Passo 4

Como ambas as contribuições têm exatamente o mesmo valor \bigl|\rho_{S}\bigr|/(2\varepsilon_{0}) e direções contrárias, elas se cancelam:
E_{\text{total}} = \frac{\rho_{S}}{2\varepsilon_{0}} - \frac{\rho_{S}}{2\varepsilon_{0}} = 0.

Resposta

O campo elétrico abaixo da placa inferior é nulo:
\boxed{E = 0.}

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