Questão 03
Uma bobina ideal tem 50 \Omega de reatância quando ligada num gerador cuja tensão é v(t)=20 \operatorname{sen}\left(5.10^{2} t+90^{\circ}\right) \mathrm{V}. Pede-se:
(a) A expressão da corrente em função do tempo e na forma polar;
(b) Valor eficaz da tensão e da corrente;
(c) Valor da indutância;
(d) Diagrama fasorial.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma bobina ideal cuja reatância indutiva vale X_{L}=50\\ \Omega quando alimentada por
v(t)=20\operatorname{sen}\bigl(5\cdot10^{2}\,t+90^{\circ}\bigr)\,\mathrm{V}.
O conteúdo aqui é circuito em regime permanente senoidal, usando fasores para achar a corrente, valores eficazes, indutância e diagrama fasorial.

Passo 2

Primeiro convertemos o sinal de tensão em fasor (usando valores de pico):
V = 20\angle 90^{\circ}\\ \mathrm{V}\quad(\text{pico}),
e a impedância da bobina é
Z_{L}=jX_{L}=j\,50=50\angle 90^{\circ}\\ \Omega.
Logo o fasor corrente (pico) é
I = \frac{V}{Z_{L}} = \frac{20\angle 90^{\circ}}{50\angle 90^{\circ}} =0{,}4\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.
Voltando ao domínio do tempo, com \omega=5\cdot10^{2}\,\mathrm{rad/s},
i(t)=0{,}4\;\operatorname{sen}\bigl(5\cdot10^{2}\,t+0^{\circ}\bigr)\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Os valores eficazes (RMS) vêm de dividir pico por \sqrt{2}:
V_{\mathrm{ef}}=\frac{20}{\sqrt{2}}\approx14{,}14\\ \mathrm{V}, \qquad I_{\mathrm{ef}}=\frac{0{,}4}{\sqrt{2}}\approx0{,}283\\ \mathrm{A}.

Passo 4

A indutância satisfaz X_{L}=\omega L, isto é
L=\frac{X_{L}}{\omega}=\frac{50}{5\cdot10^{2}}=0{,}1\\ \mathrm{H}.

Passo 5

No diagrama fasorial, o eixo real representa a corrente I e o eixo imaginário positivo representa a tensão V, pois V está defasada de +90^{\circ} em relação a I. Assim traçamos um vetor horizontal de comprimento proporcional a I e outro vertical para V.

Resposta

(a) i(t)=0{,}4\;\operatorname{sen}\bigl(5\cdot10^{2}t+0^{\circ}\bigr)\\ \mathrm{A} e o fasor I=0{,}4\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.
(b) V_{\mathrm{ef}}=14{,}14\\ \mathrm{V}, I_{\mathrm{ef}}=0{,}283\\ \mathrm{A}.
(c) L=0{,}1\\ \mathrm{H}.
(d) Diagrama fasorial: I no eixo real (ângulo 0^{\circ}) e V no eixo imaginário positivo (ângulo +90^{\circ}).

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