Duas placas plano paralelas grandes, de área A cada estão separadas por uma pequena distância d. Elas estão carregadas uniformemente com cargas q e -q. O campo entre elas pode ser considerado uniforme. Determine esse campo. Em seguida, determine a função potencial V(x), sendo 0 a distância até uma das placas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas placas paralelas, cada uma com área A, separadas por uma distância d. Uma delas carrega carga +q e a outra -q, uniformemente distribuída. O problema está na parte de eletrostática: primeiro queremos achar o campo elétrico vec E entre as placas e depois a função potencial V(x) para 0, onde x é a distância até uma das placas.
Para isso vamos precisar de:
  1. Densidade superficial de carga sigma=q/A.
  2. Lei de Gauss (ou superposição de campos de placas infinitas) para achar E.
  3. Relação entre campo e potencial: Ex=-dfracdVdx.

Passo 2

Calculando o campo de uma placa infinita: pela Lei de Gauss ou resultado padrão, uma folha com densidade sigma gera um campo de módulo
Erm placa=sigma2varepsilon0
saindo de um lado e do outro. Aqui cada placa tem sigma=+q/A ou -q/A.

Passo 3

Entre as placas, os campos das duas folhas se somam (porque o campo da placa positiva aponta para a negativa, e o da negativa também aponta nessa direção dentro do capacitor). Então
$$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}
\quadcom;\sigma=\frac{q}{A}. E=sigma2varepsilon0+sigma2varepsilon0=sigmavarepsilon0 com;sigma=qAó\boxed{E=\frac{q}{\varepsilon_0,A}}, $$
sempre uniforme e apontando do lado boxedE=qvarepsilon0,A,, em direção ao +q.

Passo 4

Agora, para achar V(x), usamos a relação escalar em uma dimensão:
Ex=-dVdx,
Como Ex é constante, podemos integrar de x=0 até uma posição x qualquer. Vamos definir V(0)=0 na placa positiva (por convenção). Então
-integral0^xE,dx'=integral0^xdVdx',dx' ;Longrightarrow; -E,x=V(x)-V(0),
Como V(0)=0, fica
boxedV(x)=-E,x=-qvarepsilon0,A,x,

Resposta

E entre as placas:
E=qvarepsilon0,A(do +q para o -q)
Potencial (com referência V(0)=0 na placa positiva):
V(x)=-qvarepsilon0,A,x,, 0

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