Seja
no espaço livre. Encontre a densidade superficial de carga na superfície de um condutor que passa pelo ponto
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que o potencial elétrico no espaço livre é $ V = \frac{\cos 2\phi}{\rho} $. Nossa tarefa é encontrar a densidade superficial de carga na superfície de um condutor que passa pelo ponto $ B(2, 30^{\circ}, 1) $.
Aqui, estamos trabalhando com eletrostática, especificamente com potenciais elétricos e densidade de carga em condutores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como o campo elétrico derivado do potencial e a relação entre o campo elétrico e a densidade de carga superficial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto $ B $. As coordenadas dadas são $ \rho = 2 $, $ \phi = 30^{\circ} $ e $ \theta = 1 $. No entanto, parece que há uma pequena confusão nas coordenadas. Normalmente, usamos $ r $ ou $ \rho $ para a distância radial, $ \theta $ para o ângulo polar e $ \phi $ para o ângulo azimutal. Vou assumir que $ \rho $ é a distância radial ($ r $) e $ \phi $ é o ângulo polar.
Passo 3
Sabemos que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial $ V $ pela relação:
Então, vamos calcular o gradiente de $ V $ no sistema de coordenadas esféricas. O gradiente em coordenadas esféricas é dado por:
Mas como nosso $ V = \frac{\cos 2\phi}{\rho} $, assumindo que $ \rho = r $, e não há dependência de $ \theta $, a derivada em $ \theta $ é zero.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada em relação a $ r $:
- Derivada em relação a $ \phi $:
- Derivada em relação a $ \theta $:
Passo 5
Substituindo essas derivadas no gradiente, temos:
Portanto, o campo elétrico é:
Passo 6
Agora, para encontrar a densidade superficial de carga $ \sigma $ na superfície do condutor, usamos a relação:
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície do condutor. Como estamos na superfície de um condutor, o campo elétrico é perpendicular à superfície, então $ \mathbf{E} \cdot \hat{n} = E_r $.
Passo 7
No ponto $ B $, temos $ r = 2 $ e $ \phi = 30^{\circ} $. Vamos calcular $ E_r $ nesse ponto:
Passo 8
Finalmente, aplicando a relação para $ \sigma $:
Sabendo que $ \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $:
Resposta
A densidade superficial de carga na superfície do condutor no ponto $ B $ é aproximadamente $ 1.11 \times 10^{-12} , C/m^2 $.