Considere um par de cargas q e -q separados por uma distância d. Ache as expressões para o potencial elétrico ao longo da linha que une as cargas, e também ao longo da linha perpendicular e equidistante das cargas. Faça um esboço do potencial versos distância para cada caso. Ao final, tome o limite d 0 mantendo o produto q d=p finito. Com isso você obterá o potencial de um dipolo elétrico p ao longo daqueles eixos. Em seguida, utilizando essa expressão, obtenha o campo elétrico ao longo desses eixos.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem duas cargas, +q e -q, separadas por uma distância d.
Conteúdo: superposição de potenciais, limite dipolar e campo elétrico via $ \mathbf E=-\nabla V$.
O que vamos usar:
  1. Potencial de uma carga pontual E=-nabla V.
  2. Princípio da superposição.
  3. Expansão para V=14pivarepsilon0,qr com dto0 fixo.
  4. Relação pequiv q,d, aplicada ao longo de eixos especiais (eixo das cargas e bissetriz).

Passo 2

Potencial ao longo do eixo que une as cargas (eixo x, origem no meio):
– Distância até +q em x=+d/2: r+=x - tfrac d2.
– Distância até -q em x=-d/2: r-=x + tfrac d2.
Pela superposição,
$$V(x);=;\frac1{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{q}{,x-\tfrac d2,} ;+;\frac{-q}{,x+\tfrac d2,}\Bigr]
;=;\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1{x-\tfrac d2}-\frac1{x+\tfrac d2}\Bigr),. $$

Passo 3

Potencial ao longo da linha perpendicular e equidistante (eixo y, origem no meio):
Para todo ponto em y, as distâncias a +q e -q são iguais:
r+=r-=raizl(tfrac d2r)^2+y^2,
Logo
V(y);=;q4pivarepsilon0l(1r+-1r-r)=0,

Passo 4

Esboço qualitativo de V versus distância:
– Eixo x: V(x) tem singularidades em x=pm d/2, muda de sinal, e vai a zero em xtopminfty.
– Eixo y: V(y)=0 é uma linha horizontal.

Passo 5

Limite dipolar dto0 com p=q,d constante.
Expandindo para |x|gg d:
$$V(x)\approx\frac{q}{4\pi\varepsilon_0},\frac{d}{x^2}
;=;\frac{p}{4\pi\varepsilon_0},\frac1{x^2},. V(x)approxq4pivarepsilon0,dx^2 ;=;p4pivarepsilon0,1x^2, óV(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{p\cos\theta}{r^2}, $$
que, para y (eixo positivo) dá V(y)=0, e para V(r,theta)=14pivarepsilon0,pcosthetar^2,, (bissetriz) dá zero.

Passo 6

Campo elétrico pelo gradiente do potencial.
– No eixo x (colinear ao dipolo), V(x)=dfracp4pivarepsilon0x^2, então
Ex(x);=;-,dVdx ;=;-,ddxl[p4pivarepsilon0x^2r] ;=;2,p4pivarepsilon0,x^3,
Direção: no lado x>0 é positiva (aponta para fora do dipolo), no lado x<0 muda de sinal conforme costheta.
– Na bissetriz ( theta=90°), usamos a componente angular do gradiente em coordenadas esféricas,
$$E_\theta=-\frac1r\frac{\partial V}{\partial\theta}
;\Longrightarrow;E_\perp=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0,r^3}, $$
apontando sempre no sentido de atrair cargas positivas para o dipolo (ou seja, contra a direção de Etheta=-1rpartial Vpartialtheta ;Longrightarrow;Eperp=p4pivarepsilon0,r^3,, ).

Resposta

Potencial do par de cargas (antes do limite)
V(x)=q4pivarepsilon0l(1x-tfrac d2-1x+tfrac d2r), V(y)=0
No limite dipolar ( p=q,d):
Vrm dip(x)=p4pivarepsilon0,x^2, Vrm dip(y)=0
Campo elétrico do dipolo ao longo dos eixos:
Ex(x)=2,p4pivarepsilon0,x^3, x, Erm perp(y)=p4pivarepsilon0,y^3,boldsymbol etheta (aponta contra p)

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