Considere um par de cargas
e
separados por uma distância
. Ache as expressões para o potencial elétrico ao longo da linha que une as cargas, e também ao longo da linha perpendicular e equidistante das cargas. Faça um esboço do potencial versos distância para cada caso. Ao final, tome o limite
mantendo o produto
finito. Com isso você obterá o potencial de um dipolo elétrico
ao longo daqueles eixos. Em seguida, utilizando essa expressão, obtenha o campo elétrico ao longo desses eixos.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem duas cargas,
e
, separadas por uma distância
.
Conteúdo: superposição de potenciais, limite dipolar e campo elétrico via $ \mathbf E=-\nabla V$.
O que vamos usar:
Conteúdo: superposição de potenciais, limite dipolar e campo elétrico via $ \mathbf E=-\nabla V$.
O que vamos usar:
- Potencial de uma carga pontual
. - Princípio da superposição.
- Expansão para
com fixo. - Relação
, aplicada ao longo de eixos especiais (eixo das cargas e bissetriz).
Passo 2
Potencial ao longo do eixo que une as cargas (eixo
, origem no meio):
– Distância até em
:
.
– Distância até em
:
.
Pela superposição,
– Distância até
– Distância até
Pela superposição,
$$V(x);=;\frac1{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{q}{,x-\tfrac d2,} ;+;\frac{-q}{,x+\tfrac d2,}\Bigr]
;=;\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1{x-\tfrac d2}-\frac1{x+\tfrac d2}\Bigr),. $$
Passo 3
Potencial ao longo da linha perpendicular e equidistante (eixo
, origem no meio):
Para todo ponto em , as distâncias a
e
são iguais:
Para todo ponto em
Logo
Passo 4
Esboço qualitativo de
versus distância:
– Eixo :
tem singularidades em
, muda de sinal, e vai a zero em
.
– Eixo :
é uma linha horizontal.
– Eixo
– Eixo
Passo 5
Limite dipolar
com
constante.
Expandindo para :
Expandindo para
$$V(x)\approx\frac{q}{4\pi\varepsilon_0},\frac{d}{x^2}
;=;\frac{p}{4\pi\varepsilon_0},\frac1{x^2},.
V(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{p\cos\theta}{r^2}, $$
que, para
(eixo positivo) dá
, e para
(bissetriz) dá zero.
Passo 6
Campo elétrico pelo gradiente do potencial.
– No eixo (colinear ao dipolo),
, então
– No eixo
Direção: no lado
é positiva (aponta para fora do dipolo), no lado
muda de sinal conforme
.
– Na bissetriz (
), usamos a componente angular do gradiente em coordenadas esféricas,
$$E_\theta=-\frac1r\frac{\partial V}{\partial\theta}
;\Longrightarrow;E_\perp=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0,r^3}, $$
apontando sempre no sentido de atrair cargas positivas para o dipolo (ou seja, contra a direção de ).
apontando sempre no sentido de atrair cargas positivas para o dipolo (ou seja, contra a direção de
Resposta
Potencial do par de cargas (antes do limite)
No limite dipolar (
):
Campo elétrico do dipolo ao longo dos eixos: