Sabendo que a energia do estado fundamental do átomo de H é igual a
e que os valores de energia no átomo de Bohr são dados por,
calcule os três comprimentos de onda mais longos das linhas da série de Balmer (transições de níveis superiores para o nível
). Eles correspondem, respectivamente, às linhas de
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um resultado claro:
- Dado: a energia do estado fundamental é
. - Dado: os níveis de energia seguem
- Pedido: calcular os três comprimentos de onda mais longos da série de Balmer, ou seja, os comprimentos de onda das transições para
vindas de níveis superiores. Essas três transições correspondem, respectivamente, a (linha ), (linha ) e (linha ).
Passo 2
Entender o que precisamos calcular e como. Quando um elétron cai de um nível
para um nível
ele emite um fóton cuja energia é a diferença entre as energias dos níveis. Então a energia do fóton emitido é
Aqui
é negativa (ligado ao átomo), mas a energia do fóton é positiva porque
(menos negativa). Em seguida, a relação entre energia do fóton e comprimento de onda é dada por
onde:
-
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
costuma ser usado na forma numérica conveniente (isso permite trabalhar diretamente com em elétron-volts e obter em nanômetros).
Passo 3
Calcular as energias dos níveis envolvidos usando
com
. Vou pegar explicitamente os níveis
porque são os que aparecem nas três maiores linhas da série de Balmer:
Passo 4
Calcular as energias dos fótons para cada transição (energia emitida =
):
Para
(
):
Para
(
):
Para
(
):
Passo 5
Converter cada energia de fóton em comprimento de onda usando
e
.
Para
(
):
Para
(
):
Para
(
):
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: as três maiores (mais longas) comprimentos de onda da série de Balmer são mesmo as transições vindas dos menores níveis superiores:
dá o comprimento de onda mais longo (
), depois
(
), depois
(
). Os valores calculados estão no intervalo visível e coincidem, dentro das aproximações adotadas, com os comprimentos de onda conhecidos dessa série.