4- Duas placas são colocadas a 1,5 \mathrm{~cm} de distância horizontalmente e o espaço entre elas é preenchido com um óleo de viscosidade de 1,5 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a tensão de cisalhamento no óleo se a placa superior for movida com uma velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede a tensão de cisalhamento no óleo entre duas placas quando a placa superior é movida. Dados fornecidos (listei tudo explicitamente):
  • distância entre as placas: \Delta y = 1{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • viscosidade do óleo: \eta = 1{,}5\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • velocidade da placa superior: v = 3\\ \mathrm{m/s}.
A pergunta específica: “Qual é a tensão de cisalhamento no óleo?” — ou seja, encontrar o valor de \tau (tensão de cisalhamento) no espaço entre as placas usando os dados acima.

Passo 2

Qual fórmula usamos e por quê (explicação didática passo a passo)?
Para um fluido newtoniano em escoamento entre placas paralelas com uma placa fixa e a outra movendo-se com velocidade uniforme, a tensão de cisalhamento no fluido é proporcional ao gradiente de velocidade (taxa de deformação). A lei de Newton para viscosidade diz:
\tau = \eta\;\frac{du}{dy}.
Explicando cada símbolo:
  • \tau é a tensão de cisalhamento no fluido (unidade: \mathrm{N/m^{2}} que é o mesmo que \mathrm{Pa}).
  • \eta é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade: \mathrm{N\cdot s/m^{2}} ou \mathrm{Pa\cdot s}).
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade na direção normal às placas, ou seja, a taxa de variação da velocidade u em relação à posição y. A unidade é \mathrm{s^{-1}}.
No caso simples de movimento uniforme da placa superior e velocidade nula na placa inferior, a variação de velocidade é aproximadamente linear entre as placas, então
\frac{du}{dy} \approx \frac{v - 0}{\Delta y} = \frac{v}{\Delta y}.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\tau = \eta\;\frac{v}{\Delta y}.

Passo 3

Converter unidades e calcular o gradiente de velocidade \dfrac{v}{\Delta y}.
Primeiro converto a distância para metros porque as outras unidades estão em metros e segundos:
\Delta y = 1{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}015\\ \mathrm{m}.
Agora calculo o gradiente de velocidade:
\frac{v}{\Delta y} = \frac{3\\ \mathrm{m/s}}{0{,}015\\ \mathrm{m}}.
Faço a divisão passo a passo: dividir por 0{,}015 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{1}{0{,}015}. Sabendo que 0{,}015 = 15\times 10^{-3}, então
\frac{3}{0{,}015} = 3 \times \frac{1}{0{,}015} = 3 \times \frac{1000}{15} = 3 \times \frac{1000}{15}.
\dfrac{1000}{15} = \dfrac{200}{3}\approx 66{,}666\ldots, então
3 \times \frac{200}{3} = 200.
Logo
\frac{v}{\Delta y} = 200\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento usando \tau = \eta\; \dfrac{v}{\Delta y}.
Substituo os valores:
\tau = 1{,}5\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} \times 200\\ \mathrm{s^{-1}}.
Multiplicando:
\tau = 1{,}5 \times 200\\ \mathrm{N/m^{2}} = 300\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Observação sobre unidades: \mathrm{N\cdot s/m^{2}} \times \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{N/m^{2}}, que é Pascal ( \mathrm{Pa}). Então \tau = 300\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Interpretação curta e checagem (pra você ganhar confiança)
  • O resultado significa que o fluido está sujeitando uma tensão de cisalhamento de 300\\ \mathrm{Pa} devido ao movimento relativo das placas.
  • Checagem rápida de ordem de grandeza: se a distância fosse duas vezes maior, o gradiente de velocidade seria metade e \tau cairia para 150\\ \mathrm{Pa}. Isso faz sentido físico: quanto maior a separação, menor a força por área necessária para obter a mesma velocidade da placa.

Resposta

300\\ \mathrm{Pa}

Exercícios relacionados