3- A velocidade do fluxo de um fluido sobre uma placa planada é dada pela seguinte equação v=3+0,5 z-z^{2}, onde z é a distância vertical entre as placas. Calcule a tensão de cisalhamento a uma distância vertical de 0,2 \mathrm{~m} se a viscosidade dinâmica do fluido for de 0,7 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do fluido em função da distância vertical z:
v = 3 + 0,5\,z - z^{2},
peça: calcular a tensão de cisalhamento à distância z = 0,2\\ \mathrm{m} sabendo que a viscosidade dinâmica é \mu = 0,7\\ \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}^{2}. Informações relevantes listadas:
  1. A função velocidade é v(z)=3+0,5z-z^{2}.
  2. O ponto onde queremos a tensão é z=0,2\\ \mathrm{m}.
  3. A viscosidade dinâmica é \mu=0,7\\ \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}^{2}.
  4. Pergunta: encontrar a tensão de cisalhamento \tau em z=0,2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito essencial (explicadinho): para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento local \tau está relacionada com o gradiente de velocidade pela lei de Newton da viscosidade:
\tau = \mu\,\frac{dv}{dz}.
O que cada símbolo significa:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (unidade \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, que é Pascal).
  • \mu é a viscosidade dinâmica (unidade \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}^{2}).
  • \dfrac{dv}{dz} é a derivada da velocidade em relação à coordenada vertical z, ou seja, a taxa de variação da velocidade por unidade de comprimento (unidade \mathrm{s}^{-1} quando v está em \mathrm{m}/\mathrm{s} e z em \mathrm{m}).
    Explicação curta de por que: se a velocidade muda com z, camadas adjacentes deslizam umas sobre as outras; a medida desse deslizamento por distância é \dfrac{dv}{dz} e a resistência interna é \mu.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \dfrac{dv}{dz} da função dada. Regra usada: a derivada de z^{n} é n z^{n-1} e a derivada de a z é a. Aplicando a derivada termo a termo à função
v(z)=3+0,5z-z^{2},
obtemos
\frac{dv}{dz}=0 + 0,5 - 2z = 0,5 - 2z.
Aqui mostrei a contribuição de cada termo: constante vira zero, 0,5z vira 0,5, -z^{2} vira -2z.

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em z=0,2\\ \mathrm{m}:
\left.\frac{dv}{dz}\right|_{z=0,2} = 0,5 - 2\cdot 0,2.
Calcule passo a passo: 2\cdot 0,2 = 0,4, então
\left.\frac{dv}{dz}\right|_{z=0,2} = 0,5 - 0,4 = 0,1\\ \mathrm{s}^{-1}.
Interpretação rápida: a velocidade aumenta 0,1\\ \mathrm{m/s} a cada metro de altura nessa posição.

Passo 5

Agora aplicamos a lei de Newton da viscosidade para obter a tensão:
\tau = \mu \left.\frac{dv}{dz}\right|_{z=0,2}.
Substituindo os valores \mu=0,7\\ \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}^{2} e \left.\dfrac{dv}{dz}\right|_{z=0,2}=0,1\\ \mathrm{s}^{-1},
\tau = 0,7 \times 0,1 = 0,07\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Unidades conferem: \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}^{2}\times \mathrm{s}^{-1}=\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Resumo prático para a prova: para esse tipo de exercício sempre faça (1) calcule \dfrac{dv}{dz} simbolicamente, (2) avalie em z pedido, (3) multiplique por \mu. Dá poucas contas e é rápido se souber derivar polinômios — pratique uns dois exemplos antes da prova para ganhar confiança. Tu tá indo bem — respira, faz devagar que sai.

Resposta

\tau = 0,07\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}

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