5- Um sistema intravenoso fornece solução salina a um paciente a uma taxa de 0,120 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} através de uma agulha de raio 0,150 \mathrm{~mm} e comprimento de 2,50 cm. Qual a pressão necessária na entrada da agulha para causar esse fluxo, supondo que a viscosidade da solução salina seja a mesma da água. A pressão manométrica do sangue na veia do paciente é de 8,00 \mathrm{mmHg}.

Passo 1

O problema pede a pressão necessária na entrada da agulha para produzir o fluxo dado, sabendo que a pressão manométrica do sangue na veia do paciente é \,8,00\\ \mathrm{mmHg}. Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{vazão: }Q=0,120\\ \mathrm{cm^{3}/s},\\[4pt] &\text{raio da agulha: }r=0,150\\ \mathrm{mm},\\[4pt] &\text{comprimento da agulha: }L=2,50\\ \mathrm{cm},\\[4pt] &\text{viscosidade dinâmica (assumida igual à da água): }\mu\approx 1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\[4pt] &\text{pressão na veia (manométrica): }P_{\text{veia}}=8,00\\ \mathrm{mmHg}. \end{aligned}ãâàáãé
O que precisamos achar: a pressão na entrada da agulha, P_{\text{entrada}}, tal que o gradiente de pressão entre entrada e veia gere a vazão Q.]

Passo 2

Para tubos finos com fluxo laminar e fluido newtoniano usamos a lei de Poiseuille, que relaciona vazão volumétrica com diferença de pressão:
Q=\frac{\pi r^{4}}{8\mu L}\,\Delta P,
onde \Delta P é a queda de pressão ao longo do comprimento da agulha. Aqui vamos tomar
\Delta P = P_{\text{entrada}}-P_{\text{veia}}.
Explico as variáveis:
  • Q: vazão volumétrica (m³/s);
  • r: raio do tubo (m);
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s);
  • L: comprimento do tubo (m);
  • \Delta P: diferença de pressão entre entrada e saída (Pa).

Passo 3

Primeiro converto todas as unidades para o SI (m, s, Pa):
\begin{aligned} Q&=0,120\\ \mathrm{cm^{3}/s}=0,120\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/s}=1,20\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/s},\\[4pt] r&=0,150\\ \mathrm{mm}=0,150\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1,50\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\\[4pt] L&=2,50\\ \mathrm{cm}=2,50\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=2,50\times10^{-2}\\ \mathrm{m},\\[4pt] \mu&\approx 1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}\quad(\text{viscosidade da água}),\\[4pt] P_{\text{veia}}&=8,00\\ \mathrm{mmHg}=8,00\times133,322\\ \mathrm{Pa}=1\,066,6\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}á]

Passo 4

Isolo \Delta P na equação de Poiseuille:
\Delta P=\frac{8\mu L Q}{\pi r^{4}}.
Depois encontraremos P_{\text{entrada}}=P_{\text{veia}}+\Delta P.

Passo 5

Faço as contas passo a passo (mostrando todas as operações):
Calculo r^{2} e r^{4}:
r^{2}=(1,50\times10^{-4})^{2}=2,25\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}},
r^{4}=(2,25\times10^{-8})^{2}=5,0625\times10^{-16}\\ \mathrm{m^{4}}.
Calculo o numerador 8\mu L Q:
8\mu L Q = 8\times(1,00\times10^{-3})\times(2,50\times10^{-2})\times(1,20\times10^{-7})
=2,40\times10^{-11}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{4}}.
Calculo o denominador \pi r^{4}:
\pi r^{4}=\pi\times5,0625\times10^{-16}=1,590\times10^{-15}\\ \mathrm{m^{4}} \\ (\text{aprox.}).
Agora \Delta P:
\Delta P=\frac{2,40\times10^{-11}}{1,590\times10^{-15}}=1,509\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}\approx1,51\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Verifico se a hipótese de fluxo laminar (condição para usar Poiseuille) é razoável, calculando o número de Reynolds:
velocidade média
v_{\text{m}}=\frac{Q}{\pi r^{2}}=\frac{1,20\times10^{-7}}{\pi\times2,25\times10^{-8}} \approx1,70\\ \mathrm{m/s}.
Diâmetro D=2r=3,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. Tomando \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \mu=1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
\mathrm{Re}=\frac{\rho v_{\text{m}} D}{\mu}=\frac{1000\times1,70\times3,00\times10^{-4}}{1,00\times10^{-3}}\approx5,10\times10^{2}.
Como \mathrm{Re}\approx510\ll2000, o fluxo é laminar e a aplicação da lei de Poiseuille é válida.

Passo 7

Agora obtenho a pressão na entrada:
P_{\text{entrada}}=P_{\text{veia}}+\Delta P=1\,066,6\\ \mathrm{Pa}+1,509\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=1,616\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Converto para \mathrm{mmHg} (usando 1\\ \mathrm{mmHg}=133,322\\ \mathrm{Pa}):
P_{\text{entrada}}=\frac{1,616\times10^{4}}{133,322}\\ \mathrm{mmHg}\approx121,2\\ \mathrm{mmHg}.

Resposta

P_{\text{entrada}}=1,62\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
P_{\text{entrada}}\approx121\\ \mathrm{mmHg}

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