Duas proteases vegetais estão sendo caracterizadas quando a sua temperatura ótima. Os dados abaixo trazem a atividade obtida para cada temperatura testada. Calcule a energia de ativação de cada uma das enzimas e discuta este resultado.
Temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) Atividade (U) Protease 1 Atividade (U) Protease 2
20 3,33 2,42
23 6,00 4,64
26 9,33 7,11
29 12,83 9,58
32 14,67 9,83
35 11,92 9,75
38 9,42 8,09
41 7,50 6,25
44 5,67 4,25
47 4,00 3,09

Passo 1

O enunciado dá a atividade (unidades arbitrárias, U) de duas proteases em várias temperaturas em graus Celsius e pede para calcular a energia de ativação de cada enzima e discutir o resultado. Dados fornecidos (peguei a tabela do enunciado):
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Temperatura }({}^\circ\mathrm{C}) & \text{Atividade (U) Protease 1} & \text{Atividade (U) Protease 2}\\\ \hline 20 & 3{,}33 & 2{,}42\\\\ 23 & 6{,}00 & 4{,}64\\\\ 26 & 9{,}33 & 7{,}11\\\\ 29 & 12{,}83 & 9{,}58\\\\ 32 & 14{,}67 & 9{,}83\\\\ 35 & 11{,}92 & 9{,}75\\\\ 38 & 9{,}42 & 8{,}09\\\\ 41 & 7{,}50 & 6{,}25\\\\ 44 & 5{,}67 & 4{,}25\\\\ 47 & 4{,}00 & 3{,}09\\\ \hline \end{array}
Perguntas claras:
  • Calcular a energia de ativação ( E_a) para cada protease.
  • Discutir o resultado (comparar sensibilidade térmica, comentar validade do método).
Informações importantes para usar:
  • As atividades são proporcionais à constante de velocidade ( k) da reação enzimática na faixa onde a enzima não está desativada.
  • A equação de Arrhenius relaciona k e temperatura absoluta T por
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right),
onde A é o fator pré-exponencial e R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • Para estimar E_a usamos a forma linearizada:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Assim, um gráfico de \ln k versus 1/T deve ser uma reta com declive -E_a/R.
Observação importantíssima (não resolvo ainda): os dados mostram que a atividade cresce até cerca de 32^\circ\mathrm{C} e depois cai (provavelmente devido a desnaturação). A relação de Arrhenius é válida enquanto a enzima está íntegra e a velocidade aumenta exponencialmente com a temperatura; após começar a desativar, a queda não segue o mesmo comportamento. Portanto, devo usar apenas a faixa onde a atividade aumenta com temperatura (até 32^\circ\mathrm{C}) para estimar E_a.

Passo 2

Transformar temperaturas para Kelvin e escolher os pontos a usar.
Converter cada temperatura em Kelvin por \displaystyle T(\mathrm{K}) = T({}^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Para os pontos que usaremos (a parte ascendente da curva: 20^\circ\mathrm{C} a 32^\circ\mathrm{C}), as temperaturas em Kelvin são:
\begin{aligned} 20^\circ\mathrm{C} &\rightarrow T_1 = 293{,}15\\ \mathrm{K},\\\\ 23^\circ\mathrm{C} &\rightarrow T_2 = 296{,}15\\ \mathrm{K},\\\\ 26^\circ\mathrm{C} &\rightarrow T_3 = 299{,}15\\ \mathrm{K},\\\\ 29^\circ\mathrm{C} &\rightarrow T_4 = 302{,}15\\ \mathrm{K},\\\\ 32^\circ\mathrm{C} &\rightarrow T_5 = 305{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Calcular 1/T (em \mathrm{K^{-1}}) para cada um:
\begin{aligned} \frac{1}{T_1} &= 0{,}003411\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_2} &= 0{,}003376\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_3} &= 0{,}003342\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_4} &= 0{,}003310\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{T_5} &= 0{,}003277\\ \mathrm{K^{-1}}. \end{aligned}
(Numéricos arredondados com 6 dígitos significativos — suficiente para a estimação.)

Passo 3

Transformar as atividades em \ln(\text{atividade}) — vamos assumir atividade \propto k, então podemos usar \ln(\text{atividade}) no lugar de \ln k.
Protease 1 (usando os cinco pontos ascendentes):
\begin{aligned} \text{Atividades: } &3{,}33,\\\ 6{,}00,\\\ 9{,}33,\\\ 12{,}83,\\\ 14{,}67\\\ \ln(\text{atividades}):\\ &\ln(3{,}33)=1{,}2030,\\\ &\ln(6{,}00)=1{,}7918,\\\ &\ln(9{,}33)=2{,}2332,\\\ &\ln(12{,}83)=2{,}5490,\\\ &\ln(14{,}67)=2{,}6859. \end{aligned}
Protease 2 (mesmos cinco pontos):
\begin{aligned} \text{Atividades: } &2{,}42,\\\ 4{,}64,\\\ 7{,}11,\\\ 9{,}58,\\\ 9{,}83\\\ \ln(\text{atividades}):\\ &\ln(2{,}42)=0{,}8830,\\\ &\ln(4{,}64)=1{,}5340,\\\ &\ln(7{,}11)=1{,}9619,\\\ &\ln(9{,}58)=2{,}2583,\\\ &\ln(9{,}83)=2{,}2856. \end{aligned}
(Arredondei para 4 casas decimais nas \ln — mantém clareza sem exagero.)

Passo 4

Escolher o método para estimar o declive da reta \ln k vs 1/T. Explico o porquê:
  • A forma correta seria ajustar uma reta por regressão linear (mínimos quadrados) entre \ln(\text{atividade}) e 1/T na faixa em que a enzima não está desativada.
  • Como temos poucos pontos e os valores de 1/T são numericamente muito próximos (diferenças pequenas), uma regressão por mínimos quadrados pode ficar numericamente sensível. Uma forma estável e pedagógica é centrar os dados (subtrair médias) e calcular a inclinação pela fórmula conhecida:
m = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},
onde x_i=1/T_i e y_i=\ln(\text{atividade}_i).
  • Eu aplicarei essa fórmula (é a regressão linear exata) usando os cinco pontos ascendentes para cada protease. Essa é a escolha apropriada porque evita incluir pontos onde há desnaturação e segue a hipótese da equação de Arrhenius.

Passo 5

Calcular médias dos x e y (apenas para os cinco pontos ascendentes).
Para os cinco x_i=1/T_i já calculados:
\bar{x} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{T_i} = 0{,}0033432\\ \mathrm{K^{-1}}.
Protease 1:
\bar{y}_1 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\ln(\text{atividade}_i) = \frac{1{,}2030+1{,}7918+2{,}2332+2{,}5490+2{,}6859}{5} = 2{,}0926.
Protease 2:
\bar{y}_2 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\ln(\text{atividade}_i) = \frac{0{,}8830+1{,}5340+1{,}9619+2{,}2583+2{,}2856}{5} = 1{,}7842.

Passo 6

Calcular a soma dos produtos centrados \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e \sum (x_i-\bar{x})^2 (valores arredondados, mantendo consistência).
Para os cinco pontos, os desvios x_i-\bar{x} (em notação científica breve) são aproximadamente:
[+6{,}78\times10^{-5},\\\ +3{,}28\times10^{-5},\\\ -1{,}20\times10^{-6},\\\ -3{,}32\times10^{-5},\\\ -6{,}62\times10^{-5}].
A soma das quadraturas:
\sum (x_i-\bar{x})^2 \approx 1{,}116\times10^{-8}.
Agora os produtos centrados para cada protease:
Protease 1: \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}_1) \approx -1{,}248\times10^{-4}.
Protease 2: \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}_2) \approx -1{,}185\times10^{-4}.
(Expliquei no cálculo: cada termo é pequeno porque x tem ordem 10^{-3}; esses valores são consistentes com uma regressão linear bem comportada.)

Passo 7

Calcular os declives m da reta (para cada protease) pela fórmula
m = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}.
Protease 1:
m_1 \approx \frac{-1{,}248\times10^{-4}}{1{,}116\times10^{-8}} \approx -11{,}187\\ \text{(unidade: K)}.
Protease 2:
m_2 \approx \frac{-1{,}185\times10^{-4}}{1{,}116\times10^{-8}} \approx -10{,}615\\ \text{(unidade: K)}.
(Lembre: na relação linearizada \ln k = \ln A + m\cdot (1/T) o declive m é igual a -E_a/R.)

Passo 8

Calcular a energia de ativação E_a a partir dos declives:
E_a = -m \cdot R,
com R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Protease 1:
E_{a,1} = -m_1 R \approx 11{,}187 \times 8{,}314 \approx 93{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 93{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Protease 2:
E_{a,2} = -m_2 R \approx 10{,}615 \times 8{,}314 \approx 88{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 88{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
(Arredondei para uma casa decimal em kJ·mol^{-1}, que é compatível com a incerteza dos dados experimentais.)

Passo 9

Interpretação e discussão didática (por que escolhemos só a parte ascendente e o que os valores significam):
  • Justificativa do recorte dos dados: a equação de Arrhenius descreve como a velocidade (ou constante) de uma reação aumenta com temperatura assumindo que a estrutura catalítica não muda. Nas enzimas, acima de certa temperatura começa a ocorrer desnaturação/imersão de inativação e a atividade cai — este efeito não é previsto pela forma simples de Arrhenius. Observando a tabela, a atividade sobe até 32^\circ\mathrm{C} e depois decresce; portanto só usei os pontos até 32^\circ\mathrm{C} (onde a hipótese de integridade da enzima é plausível).
  • Significado dos valores: E_a indica quanta energia “barreira” precisa ser superada para que a etapa limitante ocorra. Valores estimados:
    • Protease 1: E_a \approx 93{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
    • Protease 2: E_a \approx 88{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  • Comparação: as energias são semelhantes, com a Protease 1 apresentando E_a um pouco maior — isso indica que, na faixa considerada, a taxa da Protease 1 é ligeiramente mais sensível à temperatura (um pequeno aumento de temperatura causa maior aumento relativo da atividade para a protease com menor E_a, e o contrário: maior E_a implica maior sensibilidade na dependência exponencial; na prática a interpretação qualitativa depende do sinal e do intervalo). Aqui as diferenças são pequenas (cerca de 5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}), então ambas se comportam de forma parecida termicamente.
  • Limitações: estimativa sujeita a erros experimentais e ao fato de que a atividade é só proporcional a k (assumimos proporcionalidade direta). Além disso, a faixa usada é pequena em 1/T, então a incerteza no declive pode ser relativamente grande; contudo os valores obtidos (na faixa de 80 100\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}) são razoáveis para reações enzimáticas.
  • Observação prática: se fosse necessário maior precisão, idealmente:
    • Ter mais pontos na faixa ascendente com medições repetidas para reduzir erro experimental;
    • Fazer ajuste por mínimos quadrados com avaliação do erro padrão do declive;
    • Verificar se há efeito de inativação já próximo do máximo (por exemplo ponto em 32^\circ\mathrm{C} estava quase na assíntota para a Protease 2).

Resposta

Protease 1: E_a \approx 93{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
Protease 2: E_a \approx 88{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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