A enzima fumarase possui as seguintes constantes cinéticas:
\mathrm{S}+\mathrm{E} \underset{k_{-1}}{\stackrel{k_{1}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{ES} \xrightarrow{k_{2}} \mathrm{P}+\mathrm{E}
onde \mathrm{k}_{1}=10^{9} \mathrm{M}^{-1} . \mathrm{s}^{-1} ; \mathrm{k}_{-1}=4,4 \times 10^{4} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{e}_{2}=10^{3} \mathrm{~s}^{-1}
a) Qual é o valor da constante de Michaelis para esta enzima?
b) Para uma concentração de enzima de 10^{-6} \mathrm{M}, qual será a taxa inicial de formação do produto quando utilizada uma concentração de substrato de 10^{-3} \mathrm{M} ?

Passo 1

Perguntas do enunciado:
  • (a) Qual é o valor da constante de Michaelis?
  • (b) Para [E]_{\text{total}} = 10^{-6}\\ \mathrm{M} e [S]=10^{-3}\\ \mathrm{M}, qual é a velocidade inicial de formação do produto?
Dados fornecidos:
k_{1}=10^{9}\\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}},\quad k_{-1}=4,4\times10^{4}\\ \mathrm{s^{-1}},\quad k_{2}=10^{3}\\ \mathrm{s^{-1}},
[E]_{\text{total}}=10^{-6}\\ \mathrm{M},\quad [S]=10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • No mecanismo
\mathrm{S}+\mathrm{E} \underset{k_{-1}}{\stackrel{k_{1}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{ES} \xrightarrow{k_{2}} \mathrm{P}+\mathrm{E},
as constantes k_{1},k_{-1},k_{2} são as velocidades das etapas: associação, dissociação do complexo ES, e conversão em produto, respectivamente.
  • A constante de Michaelis \mathrm{K_m} é definida por
\mathrm{K_m}=\frac{k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}.
Explicação do porquê (resumida): no estado estacionário do complexo \mathrm{ES} tem-se balanceamento entre formação e consumo de \mathrm{ES}; a expressão acima é a combinação das taxas de saída do complexo ( k_{-1} e k_{2}) divididas pela taxa de entrada ( k_{1}), resultando numa concentração efetiva de substrato que caracteriza a afinidade/velocidade.
  • A velocidade máxima é
V_{\max}=k_{2}[E]_{\text{total}},
e a equação de Michaelis–Menten para a velocidade inicial v_{0} é
v_{0}=\frac{V_{\max}[S]}{\mathrm{K_m}+[S]}.
Aqui: v_{0} é a velocidade inicial de formação de produto ( \mathrm{M\,s^{-1}}), [S] é a concentração de substrato, [E]_{\text{total}} é a concentração total de enzima.

Passo 3

Cálculo da constante de Michaelis \mathrm{K_m}:
Primeiro somamos k_{-1} e k_{2}:
k_{-1}+k_{2}=4,4\times10^{4}+1\times10^{3}=4,5\times10^{4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora dividimos por k_{1}:
\mathrm{K_m}=\frac{4,5\times10^{4}}{10^{9}}=4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Conversão para micromolar ( \mu\mathrm{M}): 1\\ \mu\mathrm{M}=10^{-6}\\ \mathrm{M}, logo
4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{M}=45\\ \mu\mathrm{M}.

Passo 4

Cálculo de V_{\max} e interpretação:
V_{\max}=k_{2}[E]_{\text{total}}=10^{3}\\ \mathrm{s^{-1}}\times10^{-6}\\ \mathrm{M}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
Interpretação rápida: se o substrato fosse muito grande ( [S]\gg\mathrm{K_m}), a velocidade tenderia a V_{\max}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.

Passo 5

Cálculo da velocidade inicial v_{0} usando Michaelis–Menten:
Substituímos na fórmula
v_{0}=\frac{V_{\max}[S]}{\mathrm{K_m}+[S]}.
Com os valores numéricos:
\mathrm{K_m}=4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{M},\quad [S]=1\times10^{-3}\\ \mathrm{M},\quad V_{\max}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
Somamos \mathrm{K_m}+[S]:
\mathrm{K_m}+[S]=4,5\times10^{-5}+1\times10^{-3}=1,045\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Calculamos o numerador V_{\max}[S]:
V_{\max}[S]=1\times10^{-3}\times1\times10^{-3}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{M^{2}\,s^{-1}}.
Agora a razão:
v_{0}=\frac{1\times10^{-6}}{1,045\times10^{-3}}=\frac{1}{1,045}\times10^{-3}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}\approx9,57\times10^{-4}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
Em unidades mais intuitivas: 9,57\times10^{-4}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}=957\\ \mu\mathrm{M\,s^{-1}}.
Observação: [S]=1\times10^{-3}\\ \mathrm{M} é bem maior que \mathrm{K_m}=4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{M}, por isso a enzima está aproximadamente 95{,}7\% saturada e v_{0} está perto de V_{\max}.

Resposta

(a) \mathrm{K_m}=4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{M}=45\\ \mu\mathrm{M}
(b) v_{0}=9,57\times10^{-4}\\ \mathrm{M\,s^{-1}}=957\\ \mu\mathrm{M\,s^{-1}}

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