Para as duas questões seguintes sobre integração numérica, usar 4 casas decimais.
  • Conhecemos estes pontos da curva da função f :
x f(x)
1 2,4495
1,5 2,894
2 3,6056
2,5 4,5415
3 5,6569
Qual a aproximação de \int_{1}^{3} f dada pela regra de 1 / 3 de Simpson com quatro subintervalos? 7,5099
Dica para verificação: o resultado está entre 6 e 8 .
  • Qual o módulo da cota máxima do erro de integração cometido ao calcular \int_{5}^{7} e^{2 x} d x pela regra de 1 / 3 de Simpson com vinte subintervalos? □ 21,3796
Dica para verificação: o resultado está entre 0 e 22.

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Primeiro pedido: aproximar \int_{1}^{3} f(x)\,dx usando a regra de 1/3 de Simpson composta com quatro subintervalos. Os pontos da função f fornecidos na tabela são (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} x & f(x)\\hline 1 & 2,4495\\\\ 1,5 & 2,894\\\\ 2 & 3,6056\\\\ 2,5 & 4,5415\\\\ 3 & 5,6569 \end{array}
O intervalo de integração é [1,3] e o número de subintervalos é n=4.
  • Segundo pedido: obter uma cota máxima para o erro (módulo do erro) ao aproximar \int_{5}^{7} e^{2x}\,dx pela regra de 1/3 de Simpson com vinte subintervalos ( n=20). Devemos retornar o valor absoluto da cota máxima do erro.
Vou resolver passo a passo cada pedido.

Passo 2

Explicação da regra composta de Simpson (fórmula) e significado de cada símbolo — isso é importante para usar na prova.
A regra composta de Simpson com n subintervalos (onde n é par) usa um passo h=\dfrac{b-a}{n} e dá a aproximação
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+f(x_n) + 4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1}) + 2\sum_{k=1}^{n/2-1} f(x_{2k})\Bigr),
onde x_i = a + i h para i=0,1,\dots,n.
Significado das variáveis:
  • a,b são os limites de integração.
  • n é o número de subintervalos (deve ser par).
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • x_0=x_a=a e x_n=b.
  • Os somatórios separam os pontos de índice ímpar (coeficiente 4) e par interno (coeficiente 2).
Na prova, memorize essa fórmula e calcule h e os f(x_i) correspondentes antes de aplicar.

Passo 3

Aplicando a regra de Simpson ao primeiro pedido: cálculo de h e identificação dos x_i e f(x_i).
  • Intervalo: a=1, b=3, n=4.
  • Calcule h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=0,5.
  • Os pontos x_i são:
x_0=1,\; x_1=1,5,\; x_2=2,\; x_3=2,5,\; x_4=3,
que coincidem com os pontos dados na tabela. Usei os valores da tabela para f(x_i).

Passo 4

Listar explicitamente os valores de f(x_i) (retirados da tabela) e calcular as somas necessárias.
  • Valores (peguei todos estes diretamente da tabela do enunciado):
f(x_0)=f(1)=2,4495,
f(x_1)=f(1,5)=2,894,
f(x_2)=f(2)=3,6056,
f(x_3)=f(2,5)=4,5415,
f(x_4)=f(3)=5,6569.
Agora calcule as somas da fórmula:
  • Soma dos extremos: f(x_0)+f(x_4)=2,4495+5,6569=8,1064.
  • Soma dos índices ímpares (para coeficiente 4): f(x_1)+f(x_3)=2,894+4,5415=7,4355. Multiplicando por 4 obtemos 4\cdot 7,4355=29,7420.
  • Soma dos índices pares internos (para coeficiente 2): aqui só temos x_2, então 2\cdot f(x_2)=2\cdot 3,6056=7,2112.

Passo 5

Somar os termos dentro do colchete e multiplicar por h/3 para obter a aproximação.
  • Soma dentro do colchete:
f(x_0)+f(x_4) + 4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i) + 2\sum_{\text{pares}} f(x_i) = 8,1064 + 29,7420 + 7,2112 = 45,0596.í
  • Agora multiplico por h/3. Como h=0,5,
\frac{h}{3}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}.
  • Portanto a aproximação é
\frac{1}{6}\cdot 45,0596 = 7,5099333\ldots

Passo 6

Arredondamento da aproximação de acordo com pedido: usar quatro casas decimais.
  • Arredondando 7,5099333\ldots para quatro casas decimais obtemos 7,5099.
Assim, a aproximação pedida é \;7,5099.
Agora passo para o segundo problema (cota do erro).

Passo 7

Apresentar a fórmula de cota do erro para a regra composta de Simpson e explicar as variáveis.
A cota máxima do erro (módulo) para a regra composta de Simpson em [a,b] com passo h é dada por
|E_S| \le \frac{b-a}{180}\,h^4\,\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
Explicando:
  • E_S é o erro total da aproximação por Simpson.
  • b-a é o comprimento do intervalo.
  • h é o passo \dfrac{b-a}{n}.
  • f^{(4)} é a quarta derivada de f. Precisamos encontrar um máximo (maior valor absoluto) da quarta derivada no intervalo.
Essa fórmula é a que você deve usar na prova para obter uma cota segura do erro.

Passo 8

Aplicar a fórmula ao função f(x)=e^{2x} no intervalo [5,7] com n=20. Calcular h e f^{(4)}(x).
  • a=5, b=7, logo b-a=2.
  • n=20 então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{20}=0,1.
  • A função é f(x)=e^{2x}. Vamos derivar:
f'(x)=2e^{2x},\quad f''(x)=2^2 e^{2x}=4e^{2x},
f^{(3)}(x)=2^3 e^{2x}=8e^{2x},\quad f^{(4)}(x)=2^4 e^{2x}=16 e^{2x}.
Portanto f^{(4)}(x)=16 e^{2x}. Como e^{2x} é crescente, o máximo em [5,7] ocorre em x=7. Então
\max_{x\in[5,7]} |f^{(4)}(x)| = 16 e^{2\cdot 7}=16 e^{14}.

Passo 9

Substituir na fórmula da cota do erro e calcular numericamente passo a passo.
A cota é
|E_S| \le \frac{b-a}{180}\,h^4 \cdot 16 e^{14}.
Substituindo b-a=2 e h=0,1:
|E_S| \le \frac{2}{180}\,(0,1)^4 \cdot 16 e^{14}.
Calcule cada parte:
  • (0,1)^4 = 0,1^4 = 0,0001.
  • \dfrac{2}{180}=\dfrac{1}{90}\approx 0,0111111111.
    Multiplicando os fatores constantes:
\frac{2}{180}\cdot 0,0001 \cdot 16 = \frac{32}{180}\cdot 0,0001 = 0,00001777777778.
Então
|E_S| \le 0,00001777777778 \cdot e^{14}.

Passo 10

Avaliar numericamen te e^{14} e concluir o valor numérico da cota, arredondando para quatro casas decimais.
  • e^{14} vale aproximadamente 1\,202\,604,2842 (usei a aproximação padrão de e^{14}).
  • Multiplicando:
|E_S| \le 0,00001777777778 \times 1\,202\,604,2842 \approx 21,37963172\ldots
Arredondando para quatro casas decimais obtemos 21,3796.
Portanto a cota máxima do módulo do erro é \;21,3796.

Resposta

7,5099
21,3796

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