Para as duas questões seguintes sobre integração numérica, usar 4 casas decimais.
- Conhecemos estes pontos da curva da função
:
1
2,4495
1,5
2,894
2
3,6056
2,5
4,5415
3
5,6569
Qual a aproximação de
dada pela regra de
de Simpson com quatro subintervalos? 7,5099
Dica para verificação: o resultado está entre 6 e 8 .
- Qual o módulo da cota máxima do erro de integração cometido ao calcular
pela regra de
de Simpson com vinte subintervalos? □ 21,3796
Dica para verificação: o resultado está entre 0 e 22.
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| 1 | 2,4495 |
| 1,5 | 2,894 |
| 2 | 3,6056 |
| 2,5 | 4,5415 |
| 3 | 5,6569 |
Dica para verificação: o resultado está entre 6 e 8 .
Passo 1
Resumo do que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Primeiro pedido: aproximar
usando a regra de de Simpson composta com quatro subintervalos. Os pontos da função fornecidos na tabela são (peguei os dados da tabela do enunciado):
O intervalo de integração é
e o número de subintervalos é
.
- Segundo pedido: obter uma cota máxima para o erro (módulo do erro) ao aproximar
pela regra de de Simpson com vinte subintervalos ( ). Devemos retornar o valor absoluto da cota máxima do erro.
Vou resolver passo a passo cada pedido.
Passo 2
Explicação da regra composta de Simpson (fórmula) e significado de cada símbolo — isso é importante para usar na prova.
A regra composta de Simpson com
subintervalos (onde
é par) usa um passo
e dá a aproximação
onde
para
.
Significado das variáveis:
-
são os limites de integração. -
é o número de subintervalos (deve ser par). -
é a largura de cada subintervalo. -
e . - Os somatórios separam os pontos de índice ímpar (coeficiente 4) e par interno (coeficiente 2).
Na prova, memorize essa fórmula e calcule
e os
correspondentes antes de aplicar.
Passo 3
Aplicando a regra de Simpson ao primeiro pedido: cálculo de
e identificação dos
e
.
- Intervalo:
, , . - Calcule
:
- Os pontos
são:
que coincidem com os pontos dados na tabela. Usei os valores da tabela para
.
Passo 4
Listar explicitamente os valores de
(retirados da tabela) e calcular as somas necessárias.
- Valores (peguei todos estes diretamente da tabela do enunciado):
Agora calcule as somas da fórmula:
- Soma dos extremos:
- Soma dos índices ímpares (para coeficiente 4):
Multiplicando por obtemos - Soma dos índices pares internos (para coeficiente 2): aqui só temos
, então
Passo 5
Somar os termos dentro do colchete e multiplicar por
para obter a aproximação.
- Soma dentro do colchete:
- Agora multiplico por
. Como ,
- Portanto a aproximação é
Passo 6
Arredondamento da aproximação de acordo com pedido: usar quatro casas decimais.
- Arredondando
para quatro casas decimais obtemos .
Assim, a aproximação pedida é
.
Agora passo para o segundo problema (cota do erro).
Passo 7
Apresentar a fórmula de cota do erro para a regra composta de Simpson e explicar as variáveis.
A cota máxima do erro (módulo) para a regra composta de Simpson em
com passo
é dada por
Explicando:
-
é o erro total da aproximação por Simpson. -
é o comprimento do intervalo. -
é o passo . -
é a quarta derivada de . Precisamos encontrar um máximo (maior valor absoluto) da quarta derivada no intervalo.
Essa fórmula é a que você deve usar na prova para obter uma cota segura do erro.
Passo 8
Aplicar a fórmula ao função
no intervalo
com
. Calcular
e
.
-
, , logo . -
então
- A função é
. Vamos derivar:
Portanto
. Como
é crescente, o máximo em
ocorre em
. Então
Passo 9
Substituir na fórmula da cota do erro e calcular numericamente passo a passo.
A cota é
Substituindo
e
:
Calcule cada parte:
-
-
Multiplicando os fatores constantes:
Então
Passo 10
Avaliar numericamen te
e concluir o valor numérico da cota, arredondando para quatro casas decimais.
-
vale aproximadamente (usei a aproximação padrão de ). - Multiplicando:
Arredondando para quatro casas decimais obtemos
.
Portanto a cota máxima do módulo do erro é
.