Enconte o mínimo da função utilizando o Método do Gradiente (Gradient Descent) com o passo 0,1. Faça 3 estágios de minimização manual os outros use o excel.
considerando o chute inicial :
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o mínimo da função
usando o Método do Gradiente (Gradient Descent) com passo (taxa de aprendizagem)
. O chute inicial é
Requisitos explícitos: realizar manualmente os primeiros 3 estágios (iterações) do método; os demais estágios devem ser feitos no Excel (aqui eu explico como fazê-los e dou a forma fechada para facilitar o uso no Excel). O objetivo final é encontrar o ponto mínimo e o valor mínimo da função.
Informações relevantes dadas:
- Função
de duas variáveis e . - Chute inicial
. - Passo (learning rate)
. - Fazer 3 iterações manuais do método do gradiente.
Passo 2
O método do gradiente (descida do gradiente) funciona assim, de forma intuitiva e prática:
- Em cada iteração calculamos o gradiente
, que aponta a direção de subida mais íngreme de . - Para minimizar, movemo-nos na direção oposta ao gradiente: a regra de atualização é
onde
é o passo (taxa de aprendizagem). Aqui:
-
é o ponto na iteração . -
.
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
. Derivando termo a termo:
- Para
: a derivada de é . O outro termo não depende de . - Para
: a derivada de é .
Logo o gradiente é
Explicando em linguagem prática: cada componente do gradiente mede quanto a função cresce se aumentarmos um pouco aquela coordenada, mantendo a outra fixa. No método do gradiente a gente multiplica esse vetor por
e subtrai do ponto atual — isso dá o próximo ponto.]
Passo 3
Iteração 1 (manual).
Dados iniciais:
,
.
Calculamos o gradiente em
:
Aplicamos a atualização
Calculamos o valor da função neste ponto (útil para ver a descida):
Comentário amigável: já caiu de
em
para
em
. Notou que a segunda coordenada pulou para cima (8{,}2) — isso acontece porque o passo é relativamente grande para o termo com coeficiente 18; veremos que haverá oscilações, mas que diminuem.]
Passo 4
Iteração 2 (manual).
Ponto atual:
.
Gradiente em
:
Atualização:
Valor da função:
Comentário: o valor diminuiu novamente. A segunda coordenada agora ficou abaixo de
(2{,}44), mostrando a oscilação.]
Passo 5
Iteração 3 (manual).
Ponto atual:
.
Gradiente em
:
Atualização:
Valor da função:
Comentário: ainda desce, mas a segunda coordenada volta a ficar acima de
. Essas oscilações acontecem porque o fator efetivo na atualização da segunda coordenada é maior (por causa de 18), o que gera sinal alternado; contudo a amplitude reduz a cada iteração (vamos ver o porquê logo).]
Passo 6
Padrão e forma fechada (útil para continuar no Excel e entender a convergência).
Observando as atualizações componente-a-componente, elas são independentes — podemos escrever recursões simples.
Da regra geral:
Reorganizando:
Subtraindo
de ambos os lados e simplificando, obtém-se a solução fechada
Com
isso fica
Para a segunda coordenada:
que leva a
Subtraindo
e resolvendo a recorrência nota-se que
Com
isso dá
Interpretação e convergência:
- Para
o fator multiplicativo é (módulo menor que 1), então exponencialmente, sem oscilações. - Para
o fator é , então há alternância de sinal (oscilações) com decaimento geométrico; portanto . - Assim o ponto limite (mínimo) é
.
Como usar no Excel:
- Método iterativo: numa planilha coloque colunas para
, , , calcule e aplique a fórmula . Copie as fórmulas para baixo. - Forma fechada: você também pode usar diretamente as fórmulas fechadas acima para cada
(fácil: use a função POTÊNCIA para e ) para verificar valores rápidos e a convergência.
Observação final (rápida matemática): se quisermos achar o mínimo analiticamente, basta zerar o gradiente:
confirmando o limite do método do gradiente.